Veske sündis [[Holstre mõisavaldvald (Paistu kihelkond)|Holstre mõisavallasvallas]] Veske talus. Õppis [[Holstre Kool|Pulleritsu külakoolis]], [[Paistu kihelkonnakool]]is, [[Tartu Kubermangugümnaasium]]is ja ([[Paistu Maarja kogudus]]e õpetaja [[Woldemar Adolf Hansen]]i toel) Leipzigi misjonikoolis ning [[Leipzigi ülikool]]is, kus [[1872]]. aastal kaitses ta doktoriväitekirja "Untersuchungen zur vergleichenden Grammatik des finnischen Sprachstammes". Seejärel töötas ta aastatel 1874–1887 [[Tartu Ülikool|Tartu ülikoolis]] eesti keele lektorina <ref name=":0">{{Raamatuviide|autor=|pealkiri=Eesti Entsüklopeedia|aasta=1998|koht=|kirjastus=Eesti entsüklopeediakirjastus|lehekülg=360-361|trükk=2|köide=10 TÜRI - Y}}</ref> ning püüdis seal [[Tartu Ülikool]]is avada eesti keele õppetooli. Veskest olekski võinud saada esimene eesti keele professor Tartu ülikoolis, aga venestusajal sai talle ilmselt saatuslikuks tema liigne rahvuslikkus.<ref name=":1">{{Netiviide|autor=Prozes, Jaak|url=https://www.sirp.ee/s1-artiklid/c9-sotsiaalia/mihkel-veske-170-kaasan-ja-soome-ugri-rahvad/|pealkiri=Mihkel Veske 170. Kaasan ja soome-ugri rahvad|väljaanne=Sirp|aeg=31. jaanuar 2013|vaadatud=11.12.2020}}</ref> [[1885]]. aastal läks uurimisretkele [[Ungari]]sse, sealt [[Venemaa]]le, kus töötas 1886. aastast kuni surmani [[Kaasani ülikool]]is soome-ugri keelte õppejõuna.
Veske kuulus [[Carl Robert Jakobson|Carl Robert Jakobsoni]] vaadete pooldajana [[Ärkamisaeg|ärkamisaja]] rahvusliku liikumise juhtide hulka, olles 1882–1886 [[Eesti Kirjameeste Selts|Eesti Kirjameeste Seltsi]] president.<ref name=":0" />
