Erinevus lehekülje "Lihtharmooniline võnkumine" redaktsioonide vahel

P
resümee puudub
P
{{liita|Lihtne harmooniline liikumine}}
[[Fail:Simple harmonic motion animation 1.gif|pisi|333x333px|Lihtharmooniline liikumine: ühtlaselt pöörleva punkti projektsioon teljele]]
'''Lihtharmooniline võnkumine''' ehk '''lihtharmooniline liikumine''' on [[mehaanika]]s ja [[füüsika]]s süsteemi perioodiline võnkumine või liikumine, kus ainus mõjuv taastav [[jõud]] on võrdeline [[Siire (mehaanika)|siirdega]] tasakaaluasendist. Taastav jõud on jõud, mis mõjub vastassuunaliselt siirde suunaga. Süsteemi, mille liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena, nimetatakse '''lihtharmooniliseks ostsillaatoriks''' (''ing.ingl k'' - ''simple harmonic oscillator''). LihtrarmoonilistLihtharmoonilist võnkumist on nimetatud ka sumbuvuseta [[Vabavõnkumine|vabavõnkumiseks]].
 
Lihtharmooniline liikumine võib olla [[Matemaatiline mudel|matemaatiliseks mudeliks]] paljude erinevatele liikumiste kirjeldamisel. Lihtharmoonilise liikumise klassikaliseks näiteks peetakse vedru küljes oleva massi liikumist (juhul, kui vedru poolt tekitatava taastava jõu suurus allub [[Hooke'i seadus]]ele ja sumbuvust ei arvestata). Vastav massi võnkumine/liikumine on ajas [[sinusoid]]aalne ja toimub ühel kindlal [[Sagedus|sagesusel]]. Teine klassikaline näide lihtharmoonilisestlihtharmoonilise võnkumisestvõnkumise kohta on [[Matemaatiline pendel|matemaatilise pendli]] võnkumine, kui sumbuvust ei arvestata. Seejuures on matemaatilise pendli võnkumine lihtharmooniline vaid võnkumistel väikese amplituudiga.
 
== Definitsioon ==
 
== Dünaamika ==
Vastavalt definitsioonile kirjeldab ühedimensionaalsetühedimensioonilist lihtharmoonilist liikumist konstantsete kordajatega teist järku harilik lineaarne diferentsiaalvõrrand. Võttes aluseks massi võnkumise lineaarse vedru küljes on taastavaks jõuks vastavalt [[Hooke'i seadus]]ele ''F = -kx'' ehk võrdelisuse saab kirjutada võrdusena
 
:<math> m\ddot x = -kx </math>
 
kus <math> m</math> on võnkuva keha mass, <math>x</math> on siire tasakaaluasendist ja <math>k</math> on vedru jäikus. Jagades mõlemat poolt massiga <math> m</math>kasutades tuletise teist kirjaviisi (<math> \ddot x</math> teine kirjaviis on <math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}</math>) saame:
 
:<math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{k}{m}x,</math>
: <math> x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right),</math>
 
kus konstandid <math> {c_1}</math> ja <chem>{c_2}</chem> määravad algtingimused nagu algsiire <math>c_1 = x_1</math> ja algkiirus <math>c_2 = v_1/\omega</math>. Lahendit saab kirjutada ka kujul:
 
:<math> x(t) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right),</math>
Kõikidel antud konstantidel on liikumise kirjeldamise jaoks oluline sisu: <math> A</math> on [[amplituud]] (maksimaalne siire tasakaaluasendist), <math> \omega</math> on [[ringsagedus]] ja <math> \varphi</math> [[algfaas]].
 
Kasutades matemaatilist analüüsi, võime leida massi kiiruse ja kiirenduse ajamuutlikuseajamuutlikkuse:
 
: <math> v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sin(\omega t-\varphi),</math>
: <math> {\omega} \sqrt {A^2 - x^2} </math>
 
Maksimaalne kiirus: ''v=ωA'' (esineb liikmiselliikumisel läbi tasakaaluasendi)
 
: <math> a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t-\varphi).</math>
Maksimaalne kiirendus: ''Aω''<sup>2</sup> (esineb maksimaalsel kaugusel tasakaaluasendist)
 
Definitsiooni järgi on lihtharmoonilisel liikumises oleva massi ''m'' kiirendus võrdeline tema siirdega.
 
: <math> a(x) = -\omega^2 x.</math>
: <math>f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}},</math>
 
ja kuna ''T'' = 1/''f'', kus ''T'' periood,
 
: <math>T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.</math>
 
== Energia ==
Asendades ''ω''<sup>2</sup> suurusega ''k/m'', avaldub süsteemi [[kineetiline energia]] ''K'' ajahetkel ''t'' vastavalt
 
: <math> K(t) = \tfrac12 mv^2(t) = \tfrac12 m\omega^2A^2\sin^2(\omega t - \varphi) = \tfrac12 kA^2 \sin^2(\omega t - \varphi),</math>
== Näited ==
[[Fail:Animated-mass-spring.gif|paremal|Sumbuvuseta vedru ja massi süsteemi liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena.|pisi|200x200px]]
Järgnevalt on kirjeldatud füüsikalisi süsteeme, mis on lihtharmooniliste ostsillaatorite näited.
Järgnevad on füüsikalised süsteemid, mis on näideteks lihtharmoonilistest ostsillaatoritest.
 
=== Mass vedru otsas ===
 
=== Ühtlane pöörlemine ===
Lihtharmooniliselt liigub [[Ühtlane ringjooneline liikumine|ühtlaselt ringjooneliselt liikuva]] ([[Nurkkiirendus|nurkiirendusetanurkkiirenduseta]] pöörleva) keha mõne punkti projektsioon. Kui keha punkt pöörleb ''xy''-tasandil nurkkiirusega ''ω'' pöörlemistsentrist kaugusel ''r'', siis punkti projektsioon liigub koordinaattelgedel lihtharmooniliselt. Seejuures on punkti liikumise amplituud võrdne kaugusega pöörlemistsentrist ''r'' ja võnkumise ringsagedus on võrdne pöörlemise nurkkiirusega ''ω''. Igal ajahetkel on punkti projektsioon ''x''-teljele leitav vastavalt:
 
:<math> x = r\cos (\omega t).</math>
: <math>-m g l \sin\theta=I \ddot{\theta},</math>
 
kus, ''m'' on pendli mass, <math>g</math> on [[raskuskiirendus]], ''l'' on pendli pikkus, <math>I</math>on [[Inertsimoment|inertimomentinertsimoment]], ''<math>\theta</math>'' on pendli niidi nurk vertikaalist ja <math>\ddot{\theta}</math>on antud nurga muutuse kiirendus ehk nurkkiirendus. Väikese amplituudiga võnkumiste korral on ka maksimaalne nurk tasakaaluasendist nullilähedaste väärtustega. Nullilähedaste nurkade korral kehtib seos ''sin ''θ ''≈'' θ ja diferentsiaalvõrrand saab kuju:
 
<math>-m g l \theta=I \ddot{\theta},</math>
 
mis teeb nurkiirendusenurkkiirenduse <math>\ddot{\theta}</math> võrdeliseks nurga suurusega ''<math>\theta</math>'' ja seega viimane diferentsiaalvõrrand rahuldab lihtharmoonilise liikumise definitsiooni.
 
Diferentsiaalvõrrandi järgi saab määrata matemaatilise pendli võnkeperioodi. Pikkusega ''l'' pendli võnkeperioodi annab valem:
:<math> T = 2 \pi \sqrt\frac{l}{g}</math>.
 
Valemist on näha et pendli võnkeperiood ei sõltu võnkeamplituudist ja pendli massist. Võnkeperiood sõltub raskuskiirendusest <math>g</math> ja pendli pikkusest, mistõttu sama pikkusega pendlil on [[Kuu]]l pikem võnkeperiood kui [[Maa]]l, kuna raskuskiirendus Kuul on väiksem. Kuna raskuskiirenduse <math>g</math> väärtus on Maa eri paigus erineb, on sama pikkusega pendli võnkeperiood samuti erinev.
 
== Vaata ka ==
 
* [[Harmooniline võnkumine]]
* [[Võnkumine]]
119 249

muudatust