Teoreem: erinevus redaktsioonide vahel

[[Pilt:Pythagorean_Proof_(3).PNG|pisi|[[Pythagorase teoreem]]il on teadaolevalt üle 370 erineva tõestuse.<ref Name='Loomis'>{{cite web|url=http://www.eric.ed.gov/PDFS/ED037335.pdf|author=Elisha Scott Loomis |title=The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs |accessdate=26.09.2010 |work=[[Education Resources Information Center]] |publisher=[[Institute of Education Sciences]] (IES) of the [[U.S. Department of Education]] }} Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics.</ref>]]'''Teoreem''' (kreeka sõnast ''θεώρημα'') on [[propositsioon]], mille tõesus tõestatakse tuginedes [[aksioom]]idele ja teistele tõestatud teoreemidele. Teoreem on loogiline järeldus aksioomidest. Matemaatilise teoreemi tõestus on loogiline põhjendus teoreemi [[väide|väitele]], mis on antud kooskõlas deduktiivse süsteemi reeglitega. Teoreemi [[tõestus]]t tõlgendatakse tihti kui teoreemi väite tõesuse põhjendust. Teoreem on üldjoontes deduktiivne tingimusel, et teoreemid tõestatakse vastupidiselt loodusseadustele, mis on eksperimenteerimise ja mõõtmiste abil tõestatavad.<ref>However, both theorems and scientific law are the result of investigations. See {{harvnb|Heath|1897}} Introduction, The terminology of [[Archimedes]], p. clxxxii:"theorem (θεὼρνμα) from θεωρεἳν to investigate"</ref>

Mitmed teoreemid on tingimuslikud väited. Sel juhul jõutakse tõestuses kokkuvõtteni järelduste kaudu, mis kasutavad tingimusi, mida nimetatakse eeldusteks. Kuna tõestust tõlgendatakse kui tõe põhjendust, vaadeldakse järeldust tihti kui eeldustest tulenevat tarvilikku tagajärge.<ref name="HilbornMangel1997">{{cite book |last1=Hilborn |first1=Ray |last2=Mangel |first2=Marc |title=The ecological detective: confronting models with data |url=https://books.google.com/books?id=katmvQDi8PMC&pg=PA24 |accessdate=22. August 2011 |year=1997 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-03497-3 |page=24}}</ref> See tähendab, et järeldus on tõene, kui eeldused on tõesed, ilma rohkemat eeldamata. Siiski, eelduseideeldusi võidakse teatud deduktiivsetes süsteemides interpreteerida erinevateri moodi olenevalt sellest, millised tähendused on seatud tuletisreeglitele ja tingimussümbolitele.

Kuigi teoreeme võib kirja panna täielikult sümbolkujul, näiteks lausearvutuskujul, siison enamasti onneed nadenamastu esitatud harilikus tavakeeles, nagu inglise või eesti keel. Sama kehtib ka tõestuste puhul, mis on enamasti väljendatud kui loogiliselt üles seatud ja selgelt sõnastatud mitteformaalses keeles argumendid, mille eesmärk on veenda lugejaid teoreemi väite tõesuses. Nendest on võimalik üles ehitada ametlik sümbolkujuline tõestus.<ref>{{netiviide | URL = http://discretetext.oscarlevin.com/dmoi/ch_logic.html | Pealkiri = Symbolic Logic and Proofs | Autor = Oscar Levin| Täpsustus = Chapter 3 | Väljaanne = Discrete Mathematics: An Open Introduction| Keel = inglise keel }}</ref> Tavaliselt on selliseid arutluskäike lihtsam kontrollida kui puhtalt sümbolkujul kirja pandud tõestusi. Paljud matemaatikud eelistavad tõestust, mis mitte ainult ei näita teoreemi õigsust, vaid ka selgitab, miks selle tõesus ilmne võib olla. Mõnel juhul võib teoreemi tõestamiseks piisata ka ainult pildist või visuaalsest joonisest.

Loogikas esitatakse paljud teoreemid kujul: kui A, siis B. Selline teoreem ei kinnita B tõesust, vaid näitab ainult seda, et B on A tarvilik tagajärg. SelliselSel juhul on A teoreemi eeldus ningja B on väide. Järgnev teoreemTeoreem "Kui n on paarisarvuline naturaalarv, siis ka n/2 on naturaalarv." on tüüpiline näide teoreemist, kus eeldus on "n on paarisarvuline naturaalarv" ja väide on "n/2 on naturaalarv". Et teoreem oleks tõestatav, peab see olema väljendatud täpse formaalse lausena. Sellegi poolest pannakse teoreemid enamasti kirja pigem tavalises kirjakeeles, kui täielikult sümbolkujul, eeldades, et lugeja on ise võimeline tuletama kirjakeelest formaalse lause. Matemaatikas on tavaks valida antud keeles kindlad eeldused ning kinnitada, et teoreem koosneb kõigist nendest eeldustest saadavatest väidetest. Need eeldused moodustavad teooriale fundamentaalse aluse ning neid nimetatakse aksioomideks või postulaatideks. Matemaatika haru, mis uurib formaalseid keeli, aksioome ningja tõestuste struktuuri, nimetatakse tõestuste teooriaks.<ref>Hofstadter, D. R. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. New York: Vintage Books, p. 23, 1989.</ref>

Mõned teoreemid on triviaalsed, tähendades seda, et nende tulenemine definitsioonidest, aksioomidest ningja teistest teoreemidest on ilmne. Teised teoreemid on aga "sügavad", mis vajavad süvitsi analüüsimist, kuna nende tõestused võivad olla pikad ja keerulised, hõlmates mitmeid erinevaidpaljusid matemaatika valdkondi ja sisaldades raskesti nähtavaid seoseid mitmesuguste erinevate matemaatiliste valdkondade vahel.<ref>{{netiviide| URL = http://mathworld.wolfram.com/DeepTheorem.html| Autor = Weisstein, Eric W |Pealkiri = Deep Theorem |Väljaanne = Mathworld}}</ref> Teoreemi sõnastus võib olla lihtne, kuid tõestus võib osutuda sügavaks. HeaSellise näideteoreemi sellisesthea teoreemistnäide on Fermat’ Suur Teoreem, mis väidab, et võrrandil xⁿ + yⁿ = zⁿ ei ole n > 2 korral positiivseid täisarvulisi lahendeid.

Teistel teoreemidel on teadaolev tõestus, mida ei ole kerge üles kirjutada. ÜksSellise näideteoreemi sellisestnäiteks teoreemist onsobib neljavärviprobleem ningja [[Johannes Kepler|Kepleri]] väide. Mõlema teoreemi puhul on nende tõesus teada ainult seetõttu, et need tõestati arvutiotsingute ja programmide abil. Esialgu ei võetudvõtnud paljude pooltpaljud sellist tõestusviisi omaks, kuid nüüdseks on see laiemat tunnustust saanud. Matemaatik [[Doron Zeilberger]] on väitnud, et need on ainsad mittetriviaalsed tulemused, mida matemaatikud tõestadaon suutnud ontõestada.<ref>{{cite web|author=Doron Zeilberger|authorlink=Doron Zeilberger|title=Opinion 51|url=http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion51.html}}</ref> Mitmeid matemaatilisi teoreeme on võimalik taandada selgemale ja lihtsamale arvutuskäigule.<ref>Petkovsek et al. 1996.</ref>

[[Pilt:4CT Non-Counterexample 1.svg|frame|[[Tasand|Tasapinnaline]] viievärviline kaart, kus sama värvi piirkonnad ei puutu kokku. AntudSeda kaarti on võimalik värvida vastavalt tingimusele kasutades vaid nelja värvivärviga. [[Neljavärviprobleem]] väidab, et sellised värvimised on võimalikud mis tahes tasapinnalise kaardi puhul, kuid iga teadaolev tõestus vajab arvutuslikku otsingut, mis on käsitsi kontrollimiseks liiga pikk]]

Matemaatilise lause teoreemina esitamiseks on tarvis tõestust, st antud väitele tuleb esitada arutluskäik, mis on tuletatud [[aksioom]]idest (ja teistest juba tõestatud teoreemidest). Siiski käsitletakse tõestust teoreemi väitest eraldi. Ühele teoreemile võib olla võimalik esitada mitu erinevat tõestust, aga väite teoreemina käsitlemiseks on piisav, kui on esitatud ka vaid üks. [[Pythagorase teoreem]]i tõestus<ref Name = "Loomis"/> ningja [[biruutvastavuse seadus]]e tõestus<ref>See F. Lemmermeyer's chronology and bibliography of proofs in the [[#Välislingid|external references]]</ref> on ühed tuntumad suure tõestusarvuga teoreemidest.

Teoreem ningja selle tõestus on esitatud tavaliselt järgmiselt:

:'''Teoreem''' (isik, kes selle tõestas, ningja avaldamise või tõestuse aasta).

:''Teoreemi väide''.

:'''Tõestus'''.

:''Tõestuse kirjeldus''.

:''Lõpp.''

Tõestuse lõppu tähistatakse rahvusvaheliselt tavaliselt lühendiga [[Q. E. D.]], mis eesti keeles tähendab "mida oligi tarvis tõestada" ehk&nbsp;m.o.t.t., või märkidega "□" või "∎" tähenduses "tõestuse lõpp". Märgid võttis kasutusele [[Ungari]] matemaatik [[Paul Halmos]]. Tõestuse täpne stiil ja ülesehitus sõltuvad nii tõestuse autorist kui tõestust publitseerivast väljaandest. Teoreemile võivad eelneda definitsioonid, mis kirjeldavad teoreemis kasutatud terminite täpset tähendust. Samuti võivad teoreemile eelneda väited või lemmad, mida samuti tõestuses tõenditena kasutatakse. Teoreemi järeldused esitatakse kas teoreemi ja tõestuse vahel või vahetult pärast tõestust. Mõnikord on järeldustel omaenda tõestused, et selgitada, miks nad teoreemist järelduvad.<ref>Richard J. Rossi

* {{Cite book |last=Loomis |first=Elisha Scott |title=The Pythagorean proposition|edition= 2nd |publisher= The National Council of Teachers of Mathematics |year=1968 |isbn=978-0-87353-036-1|ref=harv}} For full text of 2nd edition of 1940, see {{cite web|url=http://www.eric.ed.gov/PDFS/ED037335.pdf|author=Elisha Scott Loomis |title=The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs |accessdate=4.05.2010 |work=[[Education Resources Information Center]] |publisher=[[Institute of Education Sciences]] (IES) of the [[U.S. Department of Education]] }} Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics.

* [http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/fchrono.html F. Lemmermeyer's chronology and bibliography of proofs of the Quadratic Reciprocity Law] (246 tõestust)