Erinevus lehekülje "Lihtharmooniline võnkumine" redaktsioonide vahel

resümee puudub
P (pisitoimetamine)
{{liita|Lihtne harmooniline liikumine}}
[[Fail:Simple harmonic motion animation 1.gif|pisi|333x333px|Lihtharmooniline liikumine: ühtlaselt pöörleva punkti projektsioon teljele]]
'''Lihtharmooniline võnkumine''' ehk '''lihtharmooniline liikumine''' on [[mehaanika]]s ja [[füüsika]]s süsteemi perioodiline võnkumine või liikumine, kus ainus mõjuv taastav [[jõud]] on võrdeline [[NiheSiire (mehaanika)|nihkegasiirdega]] tasakaaluasendist. Taastav jõud on jõud, mis mõjub vastassuunaliselt nihkesiirde suunaga. Süsteemi, mille liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena nimetatakse '''lihtharmooniliseks ostsillaatoriks''' (''ing. k'' - simple harmonic oscillator). Lihtrarmoonilist võnkumist on nimetatud ka sumbuvuseta [[Vabavõnkumine|vabavõnkumiseks]].
 
Lihtharmooniline liikumine võib olla [[Matemaatiline mudel|matemaatiliseks mudeliks]] paljude erinevatele liikumiste kirjeldamisel. Lihtharmoonilise liikumise klassikaliseks näiteks peetakse vedru küljes oleva massi liikumist (juhul, kui vedru poolt tekitatava taastava jõu suurus allub [[Hooke'i seadus]]ele ja sumbuvust ei arvestata). Vastav massi võnkumine/liikumine on ajas [[sinusoid]]aalne ja toimub ühel kindlal [[Sagedus|sagesusel]]. Teine klassikaline näide lihtharmoonilisest võnkumisest on [[Matemaatiline pendel|matemaatilise pendli]] võnkumine, kui sumbuvust ei arvestata. Seejuures on matemaatilise pendli võnkumine lihtharmooniline vaid võnkumistel väikese amplituudiga.
 
== Definitsioon ==
Lihtharmooniline on liikumine/võnkumine, milles taastav jõud on võrdeline nihkegasiirdega tasakaaluasendist. Matemaatiliselt võib lihtharmoonilise võnkumise definitsiooni seega kirja panna järgnevalt:
 
:<math> {F}\propto{-x}, </math>
 
kus <math>F</math> taastav jõud, <math>x</math> on nihesiire tasakaaluasendist (miinusmärk on mõeldud rõhutamaks tõsiasja, et tegu on taastava jõuga). Jõud on teatavasti defineeritud, kui massi ja kiirenduse korrutis <math>F = ma \Rightarrow F = m\ddot{x}</math>, seega võib definitsiooni ümber kirjutada kujul
 
:<math>m \ddot{x} \propto -x \Rightarrow \ddot{x} \propto -x</math>,
 
ehk definitsiooni võib kirja panna ka järgnevalt: ''lihtharmooniline on iga liikumine, milles nihesiire ja kiirendus on võrdelised ja võrdvastupidise suunaga.''
 
== Dünaamika ==
:<math> m\ddot x = -kx </math>
 
kus <math> m</math> on võnkuva keha mass, <math>x</math> on nihesiire tasakaaluasendist ja <math>k</math> on vedru jäikus. Jagades mõlemat poolt massiga <math> m</math>kasutades tuletise teist kirjaviisi (<math> \ddot x</math> teine kirjaviis on <math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}</math>) saame:
 
:<math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{k}{m}x,</math>
: <math> x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right),</math>
 
kus konstandid <math> {c_1}</math> ja <chem>{c_2}</chem> määravad algtingimused nagu algnihealgsiire <math>c_1 = x_1</math> ja algkiirus <math>c_2 = v_1/\omega</math>. Lahendit saab kirjutada ka kujul:
 
:<math> x(t) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right),</math>
: <math> \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad A = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2}, \qquad \tan \varphi = \frac{c_2}{c_1}. </math>
 
Kõikidel antud konstantidel on liikumise kirjeldamise jaoks oluline sisu: <math> A</math> on [[amplituud]] (maksimaalne nihesiire tasakaaluasendist), <math> \omega</math> on [[ringsagedus]] ja <math> \varphi</math> [[algfaas]].
 
Kasutades matemaatilist analüüsi võime leida massi kiiruse ja kiirenduse ajamuutlikuse:
Maksimaalne kiirendus: ''Aω''<sup>2</sup> (esineb maksimaalsel kaugusel tasakaaluasendist)
 
Definitsiooni järgi on lihtharmoonilisel liikumises oleva massi ''m'' kiirendus võrdeline tema nihkegasiirdega.
 
: <math> a(x) = -\omega^2 x.</math>
:<math> \ddot{x} = -\omega^2 x</math>
 
ehk ühtlaselt pöörleva keha punkti projektsiooni liikumine vastab lihtharmoonilise liikumise definitsioonile. Kiirendus ja nihesiire on võrdelised.
 
=== Matemaatiline pendel ===