Kõverus: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
Resümee puudub |
|||
10. rida:
[[Raadius]]ega <math>r</math> [[ringjoon]]e (või selle [[kaar]]e) kõverus on kõikjal null, sest selle siht muutub kõikjal ühepalju. Mida väiksem on ringjoone raadius, seda suurem on selle kõverus. Ringjoone kõverus on suurus <math>\tfrac 1r=\tfrac{\Delta\varphi}{\Delta s}</math>, [[kesknurk|kesknurga]] ja [[kaarepikkus]]e suhe. Kesknurk võrdub [[välisnurk|välisnurgaga]] [[ringjoone puutuja]]te vahel kaare otstes.
Et defineerida suvalise tasandilise joone kõverust mingis punktis, vaadeldakse joone osa pikkusega <math>\Delta s</math>, mis sisaldab seda punkti ja mille [[puutuja]]d otspunktes lõikuvad nurga <math>\Delta\varphi</math> all. Kõverus <math>\kappa</math> selles punktis defineeritakse kui
:<math>
\kappa:=\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta s}=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}s},
</math>
kui see [[tuletis (matemaatika)|tuletis]] eksisteerib. Kui kõverus mingis punktis ei võrdu nulliga, siis selle [[pöördväärtus]]t nimetatakse [[kõverusraadius]]eks; see on seda punkti läbiva [[kõverusringjoon]]e, joont selles punktis kõige paremini [[lähendus|lähendava]] ringjoone raadius. Selle ringjoone [[keskpunkt]]i nimetatakse [[kõveruskeskpunkt]]iks, ja selle saab konstrueerida, joonestades risti joone puutujaga joone kõverdumise suunas kõverusraadiuse pikkuse lõigu.
Kui joon on antud [[funktsioon (matemaatika)|funktsioon]]i <math>f \colon \R\to\R,\, y=f(x)</math> [[graafik]]una, siis <math>f \colon \R\to\R,\, y=f(x)</math><math>\tfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\tan\varphi</math>, kus <math>\varphi</math> joone [[puutuja tõusunurk]]. [[Ahelreegel|Ahelreegli]] järgi <math>\tfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=(1+\tan^2\varphi)\tfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\left(1+\left(\tfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2\right)\tfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}</math>. Olgu [[kaarepikkus]] <math>s</math>; siis <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2,</math> seega <math>\tfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}=\sqrt{1+\left(\tfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2}</math>. Nüüd saame avaldada kõveruse:
:<math>
\kappa
=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}s}
=\frac{\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}}
=\frac{\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}}{\left(1+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}.
</math>
Kõverus on siin positiivne või negatiivne olenevalt sellest, kas joone puutuja tõusunurk on [[abstsiss]]i kasvades kasvav või kahanev, teiste sõnadega sellest, kas funktsioon on [[kumer funktsioon|kumer]] või [[nõgus funktsioon|nõgus]].
{{pooleli}}
| |||