Vektorväli: erinevus redaktsioonide vahel

[[Pilt:Vector field.svg|right|thumbpisi|333px|Vektorväli, mis tekib, kui tasandi punktile (''x'', y'') seatakse vastavusse vektor (−''y'', ''x'').]]

'''Vektorväljaks''' nimetatakse [[vektoranalüüs]]is [[funktsioon (matemaatika)|funktsioon]]i, mis seab [[eukleidiline ruum|eukleidilise ruumi]] (või [[lokaalselt eukleidiline ruum|lokaalselt eukleidilise ruumi]]) igale [[punkt (matemaatika)|punkt]]ile [[vastavusse seadmine|vastavusse]] [[vektor]]i.

Vektorväljad on [[füüsika]]s sageli [[mudel]]iks. Nendega [[modelleerimine|modelleeritakse]] näiteks [[voolav aine|voolava aine]] voolamise [[kiirus]]t (sealhulgas suunda) eri punktides, mingi [[jõud|jõu]] (näiteks [[magnetjõud|magnetjõu]] või [[gravitatsioonijõud|gravitatsioonijõu]]) tugevust ja suunda eri punktides.

Üldisel kujul defineeritakse (puutuja)vektorvälju [[muutkond]]adel muutkonna [[puutujakihtkond|puutujakihtkonna]] [[lõige]]tena. Nad on teatud tüüpi [[tensorväli|tensorväljad]] muutujal.

Olgu antud [[n-mõõtmeline eukleidiline|''n''-mõõtmelise eukleidilise ruumi]] <math> \mathbb{R}^n</math> [[lahtine hulk|lahtine]] ja [[sidus hulk|sidus]] [[alamhulk]] ''S''. '''Vektorväli''' on antud [[vektorfunktsioon]]iga

tavalistes eukleidilistes koordinaatides (''x''₁, ..., ''x''_''n''). Kui hulgal ''S'' on veel teine [[koordinaadisüsteem]] ''y'', siis uutes koordinaatides ''y'' avaldub seesama vektorväli kujul

<math>V_y := \frac{\partial y}{\partial x} V_x</math>. Seega ei ole vektorväli lihtsalt [[skalaarväli|skalaarväljade]] kogum.

Kui vektorväli ''V'' on ''k'' korda [[pidevalt diferentseeruv funktsioon]], siis öeldakse, et ''V'' on C^''k''-vektorväli.

Kui vektor on hulga ''S'' punktis ''A'' null (<math>V(p) = 0</math>), siis nimetatakse punkti ''A'' '''statsionaarseks punktiks'''.

''n''-mõõtmelises ruumis saab vektorvälja näitlikustada igale punktile rakendatud ''n''-mõõtmelise vektori abil.

Olgu antud kaks hulgal ''S'' defineeritud C^''k''-vektorvälja ''V'' ja ''W'' ning hulgal ''S'' määratud [[reaalarv]]uliste [[väärtus (matemaatika)|väärtus]]tega C^''k''-funktsioon ''f''. Siis määravad [[skalaariga korrutamine]] ja [[vektorite liitmine]]

C^''k''-vektorväljade [[moodul (algebra)|moodul]]i üle C^''k''-funktsioonide [[Ring (algebra)|ring]]i.

[[Pilt:Vector sphere.svg|right|200px|thumbpisi|Vektorväli [[kerapind|kerapinnal]]]]

Olgu antud [[muutkond]] ''M''. Siis '''vektorväli''' muutkonnal ''M'' seab muutkonna igale punktile vastavusse [[puutujavektor]]i selles punktis. Teiste sõnadega, muutkonna ''M'' iga punkti ''x'' jaoks on määratud mingi [[puutujavektor]] selles punktis. Abstraktsemas keeles väljendatuna tähendab see, et vektorväli on [[puutujakihtkond|puutujakihtkonna]] T''M'' [[lõige]].

Kui vektorväli kujutab endast [[pidev funktsioon|pidevat]], [[diferentseeruv funktsioon|diferentseeruvat]], [[sile funktsioon|siledat]] või [[analüütiline funktsioon|analüütilist funktsiooni]], siis me nimetame vektorvälja vastavalt pidevaks, diferentseeruvaks, siledaks või analüütiliseks. Tähtis on märkida, et need omadused on koordinaadistiku vahetuse korral invariantsed, nii et neid võib avastada, kui kasutada lokaalset väljendust mis tahes pideval, diferentseeruval, siledal või vastavalt analüütilisel [[kaart (topoloogia)|kaardil]].

Kõikide vektorväljade kogumit muutkonnal ''M'' tähistatakse sageli Γ(T''M'') või ''C''^∞(''M'',T''M''), eriti kui neid vaadeldakse puutujakihtkonna lõigetena; kõikide siledate vektorväljade kogumit tähistatakse mõnikord ka <math>\mathfrak{X} (M)</math>.