Erinevus lehekülje "Korpus (matemaatika)" redaktsioonide vahel

P
pisitoimetamine
P (pisitoimetamine)
''paaritu''+''paaris'' = ''paaritu'',   ''paaritu''·''paaris'' = ''paaris''
 
Kõik võimalikud arvutused saavad sooritatud, ja tulemused ei tundu sugugi olevat rumalad!
 
Pandagu eriti tähele, et ''paaris''+''x = x'', olgu ''x'' kumb tahes, ja  ''paaritu''·''x = x'', olgu ''x'' kumb tahes. Seega vastab ''paaris'' 2. punkti "nullelemendile" 0 ja ''paaritu'' 7. punkti "ühikelemendile" 1.
 
Hulgas ''K'' = {''paaris'', ''paaritu''} = {0, 1} on võimalik tõestada ka kõikide teiste punktide kehtivust. Järelikult on tegemist korpusega. See korpus kuulub lõplike korpuste ehk [[Galois' korpus]]te sekka. Pange muide tähele, et selles korpuses 1+1 = 0; seal pole olemas mingit "kahte"!
 
Korpused on [[korpuseteooria]] põhiline uurimisobjekt.
 
Korpuste tuntud näited on [[ratsionaalarvude korpus]], [[reaalarvude korpus]], [[kompleksarvude korpus]] ja [[jäägiklassiring]]id mod ''p'', kus ''p'' on [[algarv]].
 
== Formaalsed definitsioonid ==
Korpus on [[algebraline struktuur]] [[hulk|hulgal]] <math>F</math>, mis moodustab [[liitmine|liitmise]] <math>+</math> suhtes hulgal <math>F</math> [[Abeli rühm|kommutatiivse rühma]] [[neutraalne element|neutraalse elemendiga]] <math>\boldsymbol{0}</math> ning mille <math>\boldsymbol{0}</math>-ist erinevad elemendid (hulgast <math>F \setminus \{ \boldsymbol{0} \})</math> moodustavad [[korrutamine|korrutamise]] suhtes kommutatiivse rühma, kusjuures korrutamine on liitmise suhtes [[distributiivsus|distributiivne]].
 
Täpsemalt, hulka <math>F</math> koos sellel defineeritud [[algebraline tehe|algebraliste tehete]] liitmise <math>+</math> ja korrutamisega <math>*</math> (<math>+\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F</math>, st <math>\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F</math>) nimetatakse '''korpuseks''' <math>\left\langle F,+,*\right\rangle</math>, kui on täidetud järgmised [[aksioom]]id:
# [[Pöördelement|Pöördelemendi]] olemasolu nullelemendist erinevatel elementidel: <math>(\forall a\in F\colon a\neq \boldsymbol{0})\;\exists a^{-1}\in F \colon a*a^{-1}=e</math>.
# Korrutamise distributiivsus liitmise suhtes: <math>\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)</math>.
Aksioomid 1—41–4 vastavad kommutatiivse rühma definitsioonile hulga <math>F</math> elementide liitmise <math>+</math> suhtes, aksioomid 5—85–8 vastavad kommutatiivse rühma definitsioonile hulga <math>F\setminus \{\boldsymbol{0}\}</math> elementide korrutamise <math>*</math> suhtes ja аksioom 9 seob liitmise ja korrutamise distributiivsusseadusega.
 
Aksioomid 1–7 ja 9 on [[ühikelemendiga assotsiatiivne kommutatiivne ring|ühikelemendiga assotsiatiivse kommutatiivse ringi]] definitsioon.
 
Kui korrutamise kommutatiivsuse aksioom välja jätta, saame [[kaldkorpus]]e definitsiooni.
 
Seoses teiste (ajalooliselt hiljem vaatluse alla võetud) struktuuridega saab korpust defineerida kui [[assotsiatiivne kommutatiivne ring|assitsiatiivset kommutatiivset ringi]], mis on [[kaldkorpus]]. Struktuuride hierarhia on järgmine:
 
: '''[[Ühikelemendiga assotsiatiivne kommutatiivne ring|Ühikelemendiga assotsiatiivsed kommutatiivsed ringid]]''' ⊃ [[Integriteetkond|'''Integriteetkonnad''']] ⊃ '''[[Faktoriaalring]]id''' ⊃ '''[[Peaideaaliring|Peaideaaliring]]id''' ⊃ '''[[Eukleidiline ring|Eukleidilised ringid]]''' ⊃ '''Korpused.'''
 
: '''[[Ühikelemendiga assotsiatiivne kommutatiivne ring|Ühikelemendiga assotsiatiivsed kommutatiivsed ringid]]''' ⊃ [[Integriteetkond|'''Integriteetkonnad''']] ⊃ '''[[Faktoriaalring]]id''' ⊃ '''[[Peaideaaliring|Peaideaaliring]]id''' ⊃ '''[[Eukleidiline ring|Eukleidilised ringid]]''' ⊃ '''Korpused.'''
 
== Seotud definitsioonid ==
: <math>\underbrace{1 + \dots + 1}_n = n 1 = 0.</math> Kui niisugust arvu ei ole, siis korpuse karakteristikuks loetakse 0.
 
[[Galois' korpus]]edkorpused on korpused, millel on lõplik arv elemente. Need on nime saanud [[Évariste Galois]]' järgi, kes neid esimesena uuris.
 
==Ajalugu==
Korpuse mõiste raames töötas implitsiitselt [[Évariste Galois]] [[1830]]. aastal (sellest sai alguse [[Galois' teooria]]). Kasutades korpuse [[algebraline laiend|algebralise laiendi]] ideed, leidis ta selle [[piisav ja tarvilik|piisava ja tarviliku tingimuse]], et ühe muutuja [[võrrand]] oleks [[radikaalides lahenduvus|radikaalides lahenduv]]. Hiljem näidati Galois' teooria abil, et võimatu on lahendada selliseid klassikalisi ülesandeid nagu [[ringi kvadratuur]], [[nurga trisektsioon]] ja [[kuubi duplikatsioon]].
 
Korpuse mõiste eksplitsiitne kasutuselevõtmine omistatakse [[Richard Dedekind]]ile, kes nimetas seda algul ratsionaalseks väljaks (korpuseks hakati seda nimetama [[1871]]. aastal).
 
Et korpuse mõiste on üldalgebra mõistete seas tavalistele arvudele kõige lähem, kasutatakse [[lineaaralgebra]]s korpust kui struktuuri, mis universaliseerib [[skalaar]]i mõister, ja lineaaralgebra põhistruktuur [[vektorruum]] defineeritakse konstruktsioonina üle mis tahes korpuse.
 
Korpuseteooria on suuresti ka [[algebraline geomeetria|algebralise geomeetria]] ja [[algebraline arvuteooria|algebralise arvuteooria]] aluseks.
 
 
 
[[Kategooria:Üldalgebra]]
75 790

muudatust