Hulk: erinevus redaktsioonide vahel

Esimeste näidetena hulkadest tuuakse sageli [[füüsiline objekt|füüsiliste objektide]] kogumeid: linnuparv, klassitäis õpilasi jne. [[Matemaatika]]s on hulkade elementideks enamasti [[matemaatiline objekt|matemaatilised objektid]], näiteks [[arv]]ud, kuid hulki võib põhimõtteliselt moodustada mis tahes objektidest. Siiski peab olema täidetud kaks olulist tingimust: hulga elemendid on omavahel eristatavad ja iga objekti puhul peab olema võimalik üheselt otsustada, kas ta kuulub vaadeldavasse hulka või mitte.

 

 

 

== Ajalugu ==

 

[[Hulgateooria]] rajas ja hulga mõistele andis esimesena range väljenduse [[Georg Cantor]] [[19. sajand]]i lõpus. Pärast Cantori [[naiivne hulgateooria|naiivse hulgateooria]] paradokside (näiteks [[Russelli paradoks]] või [[Cantori paradoks]]) avastamist, loodi mitmeid [[aksiomaatilised hulgateooriad|aksiomaatilisi hulgateooriaid]], millest levinuim on [[Zermelo-Faenkeli hulgateooria]] koos [[valikuaksioom]]iga. Arvatakse, et viimases paradokse ei esine.

 

 

== Konkreetse hulga määratlemine ==

Hulga määratlemisel on ebaoluline, millises järjekorras elemendid loetletud on. Näiteks {1, 2, 3} ja {3, 2, 1} tähistavad üht ja sama hulka. Mõnikord eelistatakse hulga elemente kirjutada teatud kindlas järjekorras, sest selline esitus võib olla ülevaatlikum. Näiteks [[reaalarv]]udest moodustatud hulga elemente esitatakse tihti kasvavas järjekorras.

 

 

Loetlemisel võib kasutada ka hulga elemente [[määrav kirjeldus|määravaid kirjeldusi]]. Sel juhul muutub küll hulga elemendi esitusviis, kuid element ise jääb samaks. Näiteks on {taasiseseisvunud Eesti Vabariigi esimene president, 71+71} sama hulk mis {Lennart Meri, 142). Kui soovitakse loetleda väljendeid endid, siis tähistatakse need vastavalt kokkulepitud tähistusviisile, näiteks [[jutumärgid|jutumärkide]] abil: {"Lennart Meri", "142"} pole sama hulk mis {Lennart Meri, 142}, sest viimasesse kuulub üks inimene ja üks arv, esimesse aga kaks väljendit.

Hulk võidakse määratleda tingimuse kaudu, mida mingi üldisema hulga elemendid peavad rahuldama, et olla määratletava hulga elemendid. See tingimus sõnastab hulga elementide iseloomuliku tunnuse, mis neid üldisema hulga teistest elementidest eristab. Niiviisi määratletud hulga tähistamiseks märgitakse [[looksulud|looksulgude]] vahele kõigepealt, millisest hulgast elemendid võetakse, ja seejärel esitatakse [[püstkriips]]u (mõnikord ka [[koolon]]i) järel tingimus, mida elemendid rahuldama peavad. Näiteks hulka ''A'', mis sisaldab naturaalarve 2-st 190-ni, võib tähistada järgmiselt:

: <math>A = \{ n \in \mathbb{N} | n \text{ on paarisarv}, n > 1, n < 191 \},</math>

 

 

Selleks et hulk oleks tingimuse abil määratletud, peab tingimus olema sõnastatud ühemõtteliselt, nii et hulga elemendid oleksid üheselt fikseeritud. Ebamäärase sõnastuse puhul hulga määratlemine õnnestuda ei pruugi. Samas ei taga tingimuse ühemõtteline sõnastus ilmtingimata hulga olemasolu. Näiteks "kõikide niisuguste hulkade hulk, mis pole iseenda elemendiks" viib [[Russelli paradoks]]ini, mille tõttu ei õnnestu määratleda, kas määratletav hulk ise on enda element.

 

== Tühi hulk ==

 

[[Tühi hulk|Tühjas hulgas]] pole ühtki elementi. See mõiste on vajalik sellepärast, et hulk võib olla määratletud tingimusega, mida ükski objekt ei rahulda. Lisaks on tühja hulga mõiste abil võimalik hulkade kohta käivaid üldiseid väiteid lihtsamalt sõnastada.

== Hulkade võrdsus ja hulga ekstensionaalsus ==

 

 

 

 

== Alamhulgad ==

{{vaata|Alamhulk}}

 

== Lõplikud ja lõpmatud hulgad ==

 

 

Lõpmatud hulgad erinevad lõplikest veel selle poolest, et nende võimsus ei muutu, kui neist lõplik arv elemente eemaldada: piltlikult öeldes jääb neisse pärast eemaldamist "sama palju" elemente. Kui näiteks eemaldada naturaalarvude hulgast arvud 1 kuni 1 000 000, siis jääb ikkagi alles naturaalarvude võimsusega hulk. Lõplikel hulkadel seda omadust pole: kui lõplikust hulgast eemaldada ''n'' elementi, siis hulga võimsus väheneb ''n'' võrra.

 

=== Hulkade ühisosa ===

 

Hulkade <math>A</math> ja <math>B</math> ühisosa ehk lõige ehk korrutis koosneb kõikidest elementidest, mis kuuluvad nii hulka <math>A</math> kui ka hulka <math>B</math>. Hulkade <math>A</math> ja <math>B</math> ühisosa tähis on <math>A \cap B</math>.

 

 

=== Hulkade ühend ===

{{vaata|Ühend}}

 

|}

 

 

Tänapäeva matemaatikas on elementide omadused määratud ainult eeldatavate elementidevaheliste [[jagatis|suhetega]] ([[matemaatiline struktuur|matemaatiliste struktuuridega]]), mitte elementide endi omadustega. Hulgateoorias on tähtis üksnes eeldatav võimalus elemente üksteisest eristada.

 

<div style="float:left; width:50%;">

*[[Alternatiivne hulgateooria]]

*[[Deskriptiivne hulgateooria]]

*[[Vahemik]]

*[[Struktuur (matemaatika)|Struktuur]]

*[[Euleri diagramm]]

</div>