Joon: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
43. rida:
On võimalik konstrueerida tasandiline Jordani joon, mille [[Lebesgue'i mõõt]] on positiivne. Selle Peano joonega analoogse näite ([[Osgoodi joon]]e) konstrueeris [[William Fogg Osgood]] W. F. Osgood. A Jordan curve of positive area. – ''Trans. Am. Math. Soc.'', [[1903]], kd 4, lk 107–112.</ref>.
== Analüüs ==
[[Matemaatiline analüüs|Matemaatilises analüüsis]] kasutatakse sageli [[sile joon|sileda joone]] ehk [[diferentseeruv joon|diferentseeruva joone]] mõistet. Defineerime kõigepealt [[tasandiline joon|tasandilise joone]], st joone ruumis <math>\mathbb R^2</math>). Olgu <math>x(t)</math> ja <math>y(t)</math> niisugused [[pidevalt diferentseeruv funktsioon|pidevalt diferentseeruvad funktsioonid]] lõigul <math>[a,b]</math>, et <math>(x'(t))^2+(y'(t))^2</math> ei võrdu [[muutuja]] ''t'' ühegi väärtuse korral nulliga. Siis kujutus <math>\gamma: [a,b]\to \mathbb R^2, t\mapsto (x(t),y(t))</math> annab sileda joone; parametriseerimata joont nimetatakse siledaks, kui teda saab niimoodi parametriseerida. Sileda joone pikkuse saab arvutada valemi
: <math>\text{L}(\gamma)=\int_a^b \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} \, dt </math>
järgi.
Selle definitsiooni saab üldistada teistele ruumidele ning teistele [[siledusklass]]idele.
=== Diferentsiaalgeomeetria ===
{{vaata|Joonte diferentsiaalgeomeetria}}
Kui <math>X</math> on [[sile muutkond]] ([[diferentseeruv muutkond]]), siis sileda joone muutkonnal <math>X</math> saab defineerida kui [[sile kujutus|sileda kujutuse]] ([[diferentseeruv kujutus|diferentseeruva kujutuse]]) <math>\gamma\colon [a,b]\to X</math>, mille [[diferentsiaal]] ei ole kuskil null. Kui muutkonna <math>X</math> siledusklass on <math>k</math>, siis <math>C_k</math>-joon defineeritakse kui joon, mille korral <math>\gamma</math> on <math>k</math> korda pidevalt diferentseeruv kujutus. Kui <math>X</math> on [[analüütiline muutkond]] (näiteks [[eukleidiline ruum]]) ja <math>\gamma</math> on [[analüütiline kujutus]], siis joont nimetatakse [[analüütiline joon|analüütiliseks jooneks]].
Siledaid jooni <math>\gamma_1\colon I\to X</math> ja <math>\gamma_2\colon J\to X</math> nimetatakse ekvivlentseteks, kui leidub niisugune [[difeomorfism]] <math>p\colon I\to J</math> (parameetrivahetus), et <math>\gamma_1=\gamma_2\circ p</math>. Ekvivalentsiklasse selle seose järgi nimetatakse [[parametriseerimata sile joon|parametriseerimata siledateks joonteks]].
== Algebraline geomeetria ==
{{vaata|Algebraline joon}}
[[Algebraline joon|Algebralisi jooni]] uuritakse [[algebraline geomeetria|algebralises geomeetrias]]. [[Tasandiline algebraline joon]] on koordinaatidega ''x'', ''y'' punktide hulk, mille annab [[võrrand]]i ''f''(''x'', ''y'') = 0 [[lahend]]ite hulk, kus ''f'' on kahe muutuja [[polünoom]] kordajatega [[korpus (matemaatika)|korpus]]est ''F''. Algebralises geomeetrias ei võeta tavaliselt arvesse, mitte ainult punkte, mille koordinaadid kuuluvad korpusesse ''F'', vaid ka punkte koordinaatidega korpuse ''F'' [[algebraline sulund|algebralisest sulundist]]. Kui ''C'' on niisugune tasandiline algebraline joon, et seda määrava polünoomi kordajad kuuluvad korpusesse ''F'', siis teda nimetatakse jooneks üle korpuse ''F''.
Algebralised jooned saab defineerida ka kõrgema mõõtmega ruumides. Need defineeritakse [[polünoomvõrrandisüsteem]]ide lahendite hulkadena.
Iga tasandilist joont saab täiendada jooneni [[projektiivne tasand|projektiivsel tasandil]]. Kui tasandiline joon on määratud polünoomiga ''f''(''x'', ''y''), mille [[täielik aste]] on ''d'', siis polünoom
: <math>z^d\cdot f(x/z,y/z)</math>
lihtsustub pärast sulgude avamist [[homogeenne polünoom|homogeenseks polünoomiks]] ''f''(''x'', ''y'', ''z'') astmega ''d''. Niisugused väärtused ''x'', ''y'', ''z'', et ''f''(''x'', ''y'', ''z'') = 0, on tasandilise joone [[homogeensed koordinaadid]], kusjuures lähtejoone punktid on need punktid, mille puhul ''z'' ei võrdu nulliga. Näiteks [[Fermat' joon]] x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = z<sup>n</sup> võtab afiinsel kujul kuju x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = 1. Ülemineku afiinselt joonelt projektiivsele saab üldistada ka kõrgematele mõõtmetele.
{{pooleli}}
==Vaata ka==
| |||