Joon: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
Resümee puudub |
|||
8. rida:
[[Elementaargeomeetria]]s pole joonel selget definitsiooni. [[Eukleides]]e järgi on joon laiuseta pikkus. Mõnikord defineeritakse joon kui kujundi piir.
Vaadeldakse teatud tüüpi jooni, näiteks [[sirge]], [[
Elementaargeomeetrias on põhjalikult uuritud [[koonuselõige|koonuselõikeid]], mõningaid kõrgemat järku [[algebraline joon|algebralisi jooni]] ning mõningaid [[transtsendentne joon|transtsendentseid jooni]], kasutades igal juhtumil spetsiaalseid võtteid.
==Topoloogia==
===Parametriseeritud joon: lõigu kujutus===
{{vaata|Tee (topoloogia)]]
Enamasti defineeritakse joon kui [[pidev kujutus]] [[lõik|lõigust]] [[topoloogiline ruum|topoloogilisse ruumi]]:
: <math>\gamma\colon [a,b]\to X.</math>
Seejuures võivad jooned olla erinevad isegi juhul, kui nende [[kujutis (matemaatika)|kujutis]]ed langevad kokku.
Niisuguseid jooni nimetatakse parametriseeritud joonteks või, kui <math>[a,b]=[0,1]</math>, [[tee (topoloogia)|tee]]deks (mõnikord samastatakse tee parametriseeritud joonega).
=== Parametriseerimata joon ===
{{vaata|Parametriseerimata joon}}
Mõnikord defineeritakse joon "reparametrisatsiooni täpsusega". Defineeritakse [[ekvivalentsiseos]], mille puhul parametriseeritud jooned
: <math>\gamma_1\colon [a_1,b_1]\to X</math> и <math>\gamma_2\colon [a_2,b_2]\to X</math>
on ekvivalentsed, kui leidub niisugune [[pidev funktsioon|pidev]] [[monotoonne funktsioon]] <math>h</math>lõigult <math>[a_1,b_1]</math> lõigule <math>[a_2,b_2]</math>, et <math>\gamma_1\equiv\gamma_2\circ h.</math>
Selle seosega määratud [[ekvivalentsiklass]]e nimetatakse [[parametriseerimata joon]]teks ehk lihtsalt joonteks.
=== Kommentaar ===
See definitsioon vastab paljuski meie intuitiivsele ettekujutusele joonest kui millestki, mis on joonistatud pliiatsit paberilt tõstmata, kuid sellele vastavad paljud kujundid, mida me intuitiivselt jooneks ei pea. Näiteks on võimalik konstrueerida niisugune lõigu pidev kujutus [[tasand]]ile, et selle kujutis täidab [[ruut|ruudu]] ([[Peano joon]]). Veel enam, [[Mazurkiewiczi teoreem]]i järgi on iga [[kompaktne ruum|kompaktne]], [[sidus ruum|sidus]] ja [[lokaalselt sidus ruum|lokaalselt sidus]] [[topoloogiline ruum]] lõigu pidev kujutis. Nii et mitte ainult ruut, vaid ka ''n''-mõõtmeline kuup ([[hüperkuup]]) ja isegi [[Hilberti kuup]] on lõigu pidevad kujutised.
Et saada intuitsioonile paremini vastavat mõistet, esitatakse kujutusele lisanõudeid.
=== Jordani joon ===
{{vaata|Jordani joon}}
[[Pilt:Osgood curve.svg|pisi|Positiivse [[Lebesgue'i mõõt|Lebesgue'i mõõduga]] Jordani joon tasandil]]
[[Jordani joon]]eks ehk lihtsaks jooneks nimetatakse [[ringjoon]]e või lõigu pideva [[injektiivne kujutus|injektiivse kujutuse]] ([[sisestus]]e) kujutist ruumis.
Ringjoone puhul nimetakse kujutist [[kinnine Jordani joon|kinniseks Jordani jooneks]], lõigu puhul [[Jordani kaar]]eks.
[[Jordani teoreem]] ütleb, et iga kinnine Jordani joon tasandil jagab tasandi "sisemiseks" ja "väliseks" osaks.
On võimalik konstrueerida tasandiline Jordani joon, mille [[Lebesgue'i mõõt]] on positiivne. Selle Peano joonega analoogse näite ([[Osgoodi joon]]e) konstrueeris [[William Fogg Osgood]] W. F. Osgood. A Jordan curve of positive area. – ''Trans. Am. Math. Soc.'', [[1903]], kd 4, lk 107–112.</ref>.
==Vaata ka==
| |||