Ringi ideaal: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
49. rida:
Ühikelemendiga ringis on iga maksimaalne ideaal lihtne.
== Faktorringid ja tuumad ==
Ideaalid on [[ringide homomorfism]]ide tuumad ja võimaldavad defineerida [[faktorring]]e.
[[Ringide homomorfism]] <math>f</math> ringist <math>R</math> ringi <math>S</math> on [[kujutus]] <math>f\colon R \to S</math>, mille korral kõikide <math>a, b \in R</math> korral
:<math>
\begin{array}{lll}
f(0_R) = 0_S,
&f(a+b) = f(a) + f(b),
&f(ab) = f(a)f(b)
\end{array}.</math>
Homomorfismi <math>f</math> [[tuum]] on defineeritud kui
:<math>\ker(f) := \{a \in R \mid f(a) = 0_S\}.</math>
Tuum on alati ringi <math>R</math> kahepoolne ideaal.
Ringi <math>R</math> kahepoolne ideaal <math>I</math> võimaldab defineerida [[faktorring]]i <math>R/I</math> (loe: "<math>R</math> modulo <math>I</math>; mitte segi ajada [[faktoriaalring]]iga), mille elementidel on kuju
:<math>a + I := \{a + i \mid i \in I\},</math>
kus <math>a</math> on ringi <math>R</math> mingi element. Kujutus
:<math>p\colon R \to R/I,\,a \mapsto a + I</math>
on [[sürjektiivne kujutus|sürjektiivne]] ringide homomorfism, mille tuum on parajasti ideaal <math>I</math>. Seega on ringi <math>R</math> ideaalid parajasti sellel ringil määratud homomorfismide tuumad.
Olgu ring <math>R</math> kommutatiivne. Kui <math>P</math> on lihtne ring, siis <math>R/P</math> on [[integriteetkond]]. Kui <math>M</math> on maksimaalne ideaal, siis <math>R/M</math> on korpus.
<math>R</math> faktorringide äärmuslikud näited tekivad ideaalide <math>(0)</math> ja <math>R</math> puhul. Faktorring <math>R/(0)</math> on isomorfne ringiga <math>R</math> ja <math>R/R</math> on triviaalne ring <math>\{0\}.</math>
| |||