Ringi ideaal: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
26. rida:
* Vasakpoolne ideaal või parempoolne ideaal <math>I</math> in <math>\mathbf R</math> ei ole midagi muud kui vasakpoolse <math>\mathbf R</math>-[[moodul (algebra)|moodul]]i või parempoolse <math>\mathbf R</math>-moodulina <math>(R, +)</math> käsitatud ringi <math>\mathbf R</math> <math>\mathbf R</math>-[[alammoodul]] <math>(I, +)</math>.
* Kui ring on [[kommutatiivne ring|kommutatiivne]], langevad kõik kolm mõistet kokku, mittekommutatiivses ringis võivad nad aga erineda.
== Näited ==
* [[Paarisarv|Paaris]] [[täisarv]]ude hulk <math>2\Z</math> on ideaal kõigi [[täisarvude ring]]is <math>\Z</math>.
* [[Paaritu arv]|Paarutute]]] [[täisarv]]ude hulk <math>2\Z+1</math> ''ei ole'' ideaal ringis <math>\Z</math>; see ei täida ühtki kolmest tingimusest.
* Kõikide [[polünoom]]iga <math>x^2+1</math> [[jaguvus|jaguvate]] [[reaalarv]]uliste kordajatega polünoomide hulk moodustab ideaali [[polünoomide ring]]is <math>\R[X]</math>. Korpus <math>\R[X]/\left(x^2+1\right)</math> on [[isomorfsus|isomorfne]] [[kompleksarvude korpus]]ega ja <math>(x^2+1)</math> on isegi [[maksimaalne ideaal]].
* Kõigi [[pidev funktsioon|pidevate funktsioonide]] ringis <math>C(\R)</math> [[reaalarvude hulk|reaalarvude hulgal]] <math>\R</math> on ideaal, mille moodustavad pidevad funktsioonid <math>f</math>, mille korral <math>f(1) = 0</math>. Ühe teise ideaali ringis <math>C(\R)</math> moodustavad [[kompaktse kandjaga funktsioon|kompaktse kandjaga]] pidevad funktsioonid.
* [[Hurwitzi kvaternioon]]ide mittekommutatiivne ring sisaldab nii vasakpoolseid, parempoolseid kui ka kahepoolseid ideaale. Kõik need on [[peaideaal]]id.
* Hulgad <math>\{0\}</math> ja <math>R</math> on alati ringi <math>R</math> ideaalid. Ideaali <math>\{0\} = (0)</math> nimetatakse [[nullideaal]]iks, ja kui ringil R on [[ühikelement]] <math>1</math>, nimetatakse ideaali <math>R = (1)</math> [[ühikideaal]]iks. Kui <math>\{0\}</math> ja <math>R</math> on ringi <math>R</math> ainsad ideaalid, nimetatakse seda ringi <math>R</math> [[lihtne ring|lihtsaks ringiks]]. Assotsiatiivne kommutatiivne ühikelemendiga lihtne ring, mis ei ole nullring, on [[korpus (algebra)|korpus]].
== Erilised ideaalid ==
Ideaali <math>I</math> nimetatakse [[pärisideaal]]iks, kui ta ei ole kogu <math>R</math>. [[Ühikelemendiga ring]]ide puhul ühikelemendiga <math>1</math> on see nii parajasti siis, kui ideaal seda ühikelementi ei sisalda.
Pärisideaali <math>M</math> nimetatakse [[maksimaalne ideaal|maksimaalseks ideaaliks]], kui ei ole suuremat pärisideaali, st iga ideaali <math>I</math> korral
:<math>M \subseteq I \subsetneq R \Rightarrow M = I</math>
[[Zorni lemma]] abil saab näidata, et ühikelemendiga ringi iga pärisideaal sisaldub mõnes maksimaalses ideaalis. Igal ühikelemendiga ringil peale nullringi leidub maksimaalne ideaal.
Pärisideaali <math>P</math> nimetatakse [[lihtne ideaal|lihtsaks ideaaliks]], kui kõikide ideaalide <math>I, J</math> korral
:<math>I \cdot J \subseteq P \Rightarrow I \subseteq P</math> või <math>J \subseteq P</math>
Ühikelemendiga ringis on iga maksimaalne ideaal lihtne.
| |||