Vikipeedia

Noetheri teoreem: erinevus redaktsioonide vahel

Sirvi ajalugu interaktiivselt
← Vanem muudatusUuem muudatus →
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
VisuaalneVikitekst
KKristjuhan (arutelu | kaastöö)
25 muudatust
Resümee puudub
P pisitoimetamine using AWB
1. rida:
[[FilePilt:Noether.jpg|thumbpisi|[[Emmy Noether]], matemaatik, kelle järgi on teoreem nime saanud.]]
'''Noetheri teoreemi''' järgi vastab igale [[Mõju (füüsika)|mõju]] [[Sümmeetria|sümmeetrialesümmeetria]]le mingi [[Jäävusseadus|jäävusseadus]]. [[Teoreem|Teoreemi]]i tõestas matemaatik [[Emmy Noether]] 1915. aastal <ref name="MjJpk" /> Mõju on [[Lagrange'i funktsioon|lagranžiaani]] [[Integraal|integraal]] üle aja, üldisemal juhul lagranžiaani tiheduse integraal üle aegruumi. [[Süsteem|Süsteemi]]i [[Liikumisvõrrand|liikumisvõrrandidliikumisvõrrand]]id saab tuletada mõjust vähima mõju printsiibi abil.
 
Noetheri teoreemi kasutatakse laialdaselt [[Teoreetiline füüsika|teoreetilises füüsikas]]. See üldistab [[Mehaanika|mehaanikastmehaanika]]st tuntud jäävaid [[Suurus|suurusisuurus]]i ja võimaldab neid tuletada üldisematest [[Printsiip|printsiipidestprintsiip]]idest, üldiselt sümmeetriatest. Kui süsteem ei ole täielikult kirjeldatud lagranžiaaniga, siis ei saa sellele Noetheri teoreemi rakendada. Näiteks kadudega süsteemides võivad olla erinevad sümmeetriad, aga jäävusseadused ei pruugi kehtida.
 
==Sissejuhatavad näited==
9. rida:
Kui lagranžiaan on sümmeetriline pöörete suhtes, siis vastavalt Noetheri teoreemile kehtib [[Impulsimoment|impulsimomendi]] jäävus. Sümmeetrilisus pöörete suhtes tähendab, et süsteemi areng ei sõltu sellest, mis nurga all ta on ümbritseva maailma suhtes. Teisiti öeldes: lagranžiaan ei muutu pöördele vastava koordinaatteisendusega. Pöördsümmeetriline ei pea olema mitte füüsiline süsteem ise, vaid süsteemi arengut kirjeldav lagranžiaan. Sõltumatus orientatsioonist tähendab, et võime süsteemi keerata ümbritsevate kehade suhtes, ja süsteemi käitumist kirjeldavad võrrandid jäävad samale kujule. Sisuliselt võimaldab Noetheri teoreem tuletada impulsimomendi jäävuse omadusest, et süsteemi pöörates jäävad võrrandid samale kujule.
 
Kui süsteemi areng ei sõltu [[Ruum (matemaatika)|ruumi]] ja [[Aeg|aja]] [[Nihe|nihetestnihe]]test, siis Noetheri teoreemi järgi peavad kehtima vastavalt [[Energia jäävuse seadus|energia-]] ja [[Impulsi jäävuse seadus|impulsijäävus]]. Sõltumatus aja ja ruumi nihetest tähendab, et näiteks [[Pendel|pendli]] liikumine ei sõltu sellest, kas me liigutame kogu süsteemi teatud vahemaa võrra edasi mingis suunas ja paneme ta seal liikuma, või paneme pendli liikuma mõnel teisel ajahetkel, aga samas algseisundis. Noetheri teoreem nihetele rakendatuna võimaldab järeldada energia- ja impulsijäävuse küllaltki mõistlikust eeldusest, et süsteemi käitumine ei sõltu sellest, et me seda liigutame näiteks mõned meetrid edasi või teeme sellega katseid mõnel teisel päeval.
 
Noetheri teoreem võimaldab süstematiseeritult jäävusseadusi tuletada. Teistpidi võimaldab ta leida antud jäävusseadustele vastavaid lagranžiaane. Näiteks oletame, et on teooria, mille järgi on teatud suurus konstantne. Selle konstantse suuruse ja Noetheri teoreemi abil saab uurida, millist tüüpi lagranžiaanid võiksid sobida seda konkreetset teooriat kirjeldama.
21. rida:
{{quote|Igale süsteemi pidevale sümmeetriale vastab jääv suurus.<ref name="oYCdO" />}}
 
Teoreemi tõestuses kasutatakse vähima mõju printsiipi. Sisuliselt võetakse mingi [[Teisendus|teisendus]], arvutatakse lagranžiaani muutus selle teisenduse mõjul ja kasutades süsteemi [[Liikumisvõrrand|liikumisvõrrandeidliikumisvõrrand]]eid, on võimalik avaldada suurus, mille täisdivergents on null (kasutusel väljateoorias) või mille ajaline tuletis on null (kasutusel analüütilises mehaanikas). Mitmedimensionaalse juhu korral kutsutakse tänapäeva terminoloogias jäävat suurust Noetheri [[Laeng|laengukslaeng]]uks ja laengut kannab Noetheri vool.<ref name="PYR1F" /> See on analoogne näiteks [[Elektrilaeng|elektrilaenguelektrilaeng]]u jäävusega, laengu muutust mingis punktis peab põhjustama vool, mis kannab laengut ümbritsevatesse punktidesse.
 
==Ajalugu==
27. rida:
Mingi suuruse jäävus tähendab, et ta ei muutu ajas:
:<math>\frac{dX}{dt} = 0 ~.</math>
Selliseid suurusi nimetatakse liikumisintegraalideks. Näiteks kui [[Energia|energia]] on jääv, siis energia ei muutu ajas ehk tema tuletis aja järgi on null. Esimesteks täheldatud liikumisintegraalideks olid energia ja [[Impulss|impulss]], mida täheldasid 17. sajandil [[René Descartes]] ja [[Gottfried Leibniz]], uurides kehade kokkupõrkeid ja seda, kuidas kiirused ja kehade liikumissuunad põrgetel muutusid. [[Isaac Newton]] pani esimest korda impulsijäävuse kirja sellisel kujul, nagu me seda tänapäeval tunneme.
 
Liikumisintegraalide teoorias oluline lagranžiaan võeti kasutusele [[Analüütiline mehaanika|analüütilise mehaanika]] arenguga 1788. aastal<ref name="Rgle7" />. Lagranžiaaniga seostub väga oluline vähima mõju printsiip. Üheks eeliseks tavapäraste [[Newtoni seadused|Newtoni seadustega]] võrreldes on, et lagranžiaan võib olla kirja pandud suvaliste üldistatud [[Koordinaadisüsteem|koordinaatide]] abil ja vähima mõju printsiibi abil on võimalik leida nendele koordinaatidele vastavad liikumisvõrrandid. Mõjuks kutsutakse lagranžiaani integraali üle aja:
103. rida:
Väljateoorias kasutatakse Noetheri teoreemi tihti neljas aegruumi dimensioonis jääva voolu leidmiseks, kuna suur osa füüsika teooriatest kirjeldavad maailma neljamõõtmelisena. Väljateooriates on lagranžiaanid tihti kasutusel ja järgnev Noetheri teooria versioon on küllalt levinud.
 
Väljateoorias on aegruumis defineeritud väljad <math>\phi</math>, millel on igas aegruumi punktis defineeritud mingi väärtus. Näiteks võib väljaks olla [[Temperatuur|temperatuur]] <math>T(\mathbf{x}, t)</math>, mis on igas ruumi punktis defineeritud igal ajahetkel.
 
Väljateoorias on mõjuks lagranžiaani tiheduse integraal üle aegruumi:
140. rida:
T_r{}^\mu = -\delta^\mu_r \mathcal{L} + \delta^\sigma_r \partial_\sigma \phi \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_{,\mu}} = \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_{,\mu}}\right) \cdot \phi_{,r} - \delta^\mu_r \mathcal{L}
</math>
Suurus <math>T_r{}^\mu</math> nimetatakse energia-impulsi [[Tensor|tensorikstensor]]iks.
 
====Laengu jäävus====
Elektrilaengu jäävuse tuletamisel võetakse välja variatsioon võrdeliseks välja endaga.<ref name="charge" /> [[Kvantmehaanika|Kvantmehaanikas]]s ei ole [[Lainefunktsioon|lainefunktsioon]] ise otseselt mõõdetav, vaid mõõdetavad on tõenäosused, mille annab lainefunktsiooni amplituudi ruut <math>|\psi|^2</math>. Kuna [[Kompleksarv|kompleksarvukompleksarv]]u amplituud ei sõltu faasist, siis võime valida sümmeetriateisenduseks faasiteisenduse:
:<math>\psi \rightarrow e^{i\epsilon} \psi \ ,\ \ \psi^{*} \rightarrow e^{-i\epsilon} \psi^{*}~,</math>
Infinitesimaalsel kujul kehtib kuni esimese järguni:
155. rida:
==Viited==
{{viited|1=2|allikad=
<ref name="charge">{{harvnb|Goldstein|1980|pp=593–4}}</ref>▼
<ref name="MjJpk">{{cite journal | author = Noether E | year = 1918 | title = Invariante Variationsprobleme | journal = Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse | volume = 1918 | pages = 235–257}}</ref>
<ref name="oYCdO">{{cite book |author=Thompson, W.J. |title=Angular Momentum: an illustrated guide to rotational symmetries for physical systems |publisher=Wiley |year=1994 |isbn=0-471-55264-X |volume=1 |page=5 |url=https://books.google.com/books?id=O25fXV4z0B0C&pg=PA5#v=onepage&q&f=false}}</ref>
<ref name="PYR1F">''Group theory and its applications in physics, 1980: Latin American School of Physics, Mexico City'', American Institute of Physics, 1981.</ref>
<ref name="Rgle7">{{cite book | author=Joseph-Louis Lagrange | title=Mécanique analytique| year=1788}}</ref>
▲<ref name="charge">{{harvnb|Goldstein|1980|pp=593–4}}</ref>
}}
 
Pärit leheküljelt "https://et.wikipedia.org/wiki/Noetheri_teoreem"