Erinevus lehekülje "Lihtharmooniline võnkumine" redaktsioonide vahel

P
:<math> {F}\propto{-x}, </math>
 
kus <math>F</math> taastav jõud, <math>x</math> on nihe tasakaaluasendist (miinusmärk on mõeldud rõhutamaks tõsiasja, et tegu on taastava jõuga). Jõud on teatavasti defineeritud, kui massi ja kiirenduse korrutis <math>F = ma \Rightarrow F = m\ddot{x}</math>, seega võib definitsiooni ümber kirjutada kujul<blockquote><math>m \ddot{x} \propto -x \Rightarrow \ddot{x} \propto -x</math>,</blockquote>ehk definitsiooni võib kirja panna ka järgnevalt: ''lihtharmooniline on iga liikumine, milles nihe ja kiirendus on võrdelised ja võrdvastupidise suunaga.''
 
:<math>m \ddot{x} \propto -x \Rightarrow \ddot{x} \propto -x</math>,
 
ehk definitsiooni võib kirja panna ka järgnevalt: ''lihtharmooniline on iga liikumine, milles nihe ja kiirendus on võrdelised ja võrdvastupidise suunaga.''
 
== Dünaamika ==
:<math> m\ddot x = -kx </math>
 
kus <math> m</math> on võnkuva keha mass, <math>x</math> on nihe tasakaaluasendist ja <math>k</math> on vedru jäikus. Jagades mõlemat poolt massiga <math> m</math>kasutades tuletise teist kirjaviisi (<math> \ddot x</math> teine kirjaviis on <math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}</math>) saame:
 
: <math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{k}{m}x,</math>
 
antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks on sinusoidaalne funktsioon kujul
kus konstandid <math> {c_1}</math> ja <chem>{c_2}</chem> määravad algtingimused nagu algnihe <math>c_1 = x_1</math> ja algkiirus <math>c_2 = v_1/\omega</math>. Lahendit saab kirjutada ka kujul:
 
: <math> x(t) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right),</math>
 
kus
 
=== Ühtlane pöörlemine ===
Lihtharmooniliselt liigub [[Ühtlane ringjooneline liikumine|ühtlaselt ringjooneliselt liikuva]] ([[Nurkkiirendus|nurkiirenduseta]] pöörleva) keha mõne punkti projektsioon. Kui keha punkt pöörleb ''xy''-tasandil nurkkiirusega ''ω'' pöörlemistsentrist kaugusel ''r'', siis punkti projektsioon liigub koordinaattelgedel lihtharmooniliselt. Seejuures on punkti liikumise amplituud võrdne kaugusega pöörlemistsentrist ''r'' ja võnkumise ringsagedus on võrdne pöörlemise nurkkiirusega ''ω''. Igal ajahetkel on punkti projektsioon ''x''-teljele leitav vastavalt:<blockquote><math> x = r\cos (\omega t).</math></blockquote>Võttes antud seosest esimese ja teise tuletise aja järgi saame:<blockquote><math> \dot{x} = -r \omega \sin ( \omega t), \quad \ddot{x} = - r\omega^2 \cos(\omega t),</math></blockquote>viimase saab ümber kirjutada:<blockquote><math> \ddot{x} = -\omega^2 x</math></blockquote>ehk ühtlaselt pöörleva keha punkti projektsiooni liikumine vastab lihtharmoonilise liikumise definitsioonile. Kiirendus ja nihe on võrdelised.
 
:<math> x = r\cos (\omega t).</math>
 
Võttes antud seosest esimese ja teise tuletise aja järgi saame:
 
<math> \dot{x} = -r \omega \sin ( \omega t), \quad \ddot{x} = - r\omega^2 \cos(\omega t),</math>
 
viimase saab ümber kirjutada:
 
:<math> \ddot{x} = -\omega^2 x</math>
 
ehk ühtlaselt pöörleva keha punkti projektsiooni liikumine vastab lihtharmoonilise liikumise definitsioonile. Kiirendus ja nihe on võrdelised.
 
=== Matemaatiline pendel ===
: <math>-m g l \sin\theta=I \ddot{\theta},</math>
 
kus, ''m'' on pendli mass, <math>g</math> on [[raskuskiirendus]], ''l'' on pendli pikkus, <math>I</math>on [[Inertsimoment|inertimoment]], ''<math>\theta</math>'' on pendli niidi nurk vertikaalist ja <math>\ddot{\theta}</math>on antud nurga muutuse kiirendus ehk nurkkiirendus. Väikese amplituudiga võnkumiste korral on ka maksimaalne nurk tasakaaluasendist nullilähedaste väärtustega. Nullilähedaste nurkade korral kehtib seos ''sin ''θ ''≈'' θ ja diferentsiaalvõrrand saab kuju:<blockquote><math>-m g l \theta=I \ddot{\theta},</math></blockquote>mis teeb nurkiirenduse <math>\ddot{\theta}</math> võrdeliseks nurga suurusega ''<math>\theta</math>'' ja seega viimane diferentsiaalvõrrand rahuldab lihtharmoonilise liikumise definitsiooni.
 
<math>-m g l \theta=I \ddot{\theta},</math>
 
mis teeb nurkiirenduse <math>\ddot{\theta}</math> võrdeliseks nurga suurusega ''<math>\theta</math>'' ja seega viimane diferentsiaalvõrrand rahuldab lihtharmoonilise liikumise definitsiooni.
 
Diferentsiaalvõrrandi järgi saab määrata matemaatilise pendli võnkeperioodi. Pikkusega ''l'' pendli võnkeperioodi annab valem: