Harmooniline võnkumine: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
PResümee puudub |
|||
28. rida:
:<math> \ddot{x} + \frac{R_m}{m} \dot{x} + \omega_0^2 x= 0, </math>
suurust <math>\omega_0</math> nimetatakse sumbuvuseta võnkumiste ringsageduseks ja suuruse <math>R_m/m</math> asemel kasutatakse mõnikord <math>2\zeta\omega_0</math>, kus suurust <math>\zeta</math> nimetatakse sumbuvusastmeks (sumbeaste, sumbedekrement). Sumbuvusaste ja mehaaniline takistus on omavahel seotud valemiga <math>\zeta = R_m/2\sqrt{mk}</math>. Eeldades, et diferentiaalvõrrandi lahend on kujul <math>x(t) = Ce^{\eta t}</math>saame asendades lahendi diferentiaalvõrrandisse:<blockquote><math>\Bigl(\eta^2 + \frac{R_m}{m}\eta + \omega^2_0 \Bigr)Ce^{\eta t}=0,</math></blockquote>kuna <math>Ce^{\eta t}</math>ei võrdu igal ajahetkel nulliga, peab sulgudes olev avaldis võrduma nulliga. Tundmatu <math>\eta</math> leidmiseks peab lahendama [[Ruutvõrrand|ruutvõrrandi]], mille lahendiks on<blockquote><math>\eta = \frac{-R_m/m \pm \sqrt{(R_m/m)^2 - 4 \omega_0^2} }{2}.</math></blockquote>Võttes kasutusele suuruse <math>\tau = 2m/R_m</math>, saame viimase kirjutada kujul<blockquote><math>\eta = -\frac{1}{\tau} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\tau}\Bigr)^2 - \omega_0^2}.</math></blockquote>Lahendi saab, seega kirjutada kujul:<blockquote><math>x(t) = C e^{-t/\tau}\cos (\omega_d t + \phi),</math></blockquote>millest on näha, et suurus <math>\tau</math> on eksponentsiaalne sumbuvusaeg. Suurus <math>\omega_d</math> on sumbuvusega võnkumise ringsageduse, mida saab leida valemiga:<blockquote><math>\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \Bigl(\frac{1}{\tau}\Bigr)^2}.</math></blockquote>Tihti kasutatakse sumbuvate võnkumiste kirjeldamiseks ka dimensioonitut suurust <math>Q</math>, mida nimetatakse ka [[Hüvetegur|hüveteguriks]]. Hüvetegur on teiste suurustega seotud vastavalt<blockquote><math>Q^2 = km/R_m^2 = \omega_0^2\tau^2/4</math></blockquote>
== Sumbuvusega harmooniline sundvõnkumine ==
Juhul, kui lisaks sumbuvusele mõjub süsteemile ka sundiv väline ajas muutuv jõud <math>F(t)</math> kirjeldab vastavat harmoonilist võnkumist diferentsiaalvõrrand kujul:<blockquote><math>m\ddot{x} + R_m \dot{x} + kx = F(t)</math>,</blockquote>jällegi jagatakse tihti võrrand läbi massiga <math>m</math> ja tähistades <math> \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>, saab võrrand kuju:<blockquote><math> \ddot{x} + \frac{R_m}{m} \dot{x} + \omega_0^2 x= \frac{F(t)}{m}, </math> </blockquote>
== Vaata ka ==
| |||