Erinevus lehekülje "Liitfunktsioon" redaktsioonide vahel

resümee puudub
'''Liitfunktsiooniks''' ehk [[funktsioon]]ide ehk [[kujutus]]te '''kompositsiooniks''' nimetatakse [[matemaatika]]s funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni ''järjest rakendamisel''.
{{vaidlustatud}}
'''Liitfunktsioon''' on [[funktsioon]], mille [[argument (matemaatika)|argumendiks]] on funktsioon. Sümbolites y=f[g(x)]. Liitfunktsiooni puhul pole [[muutuja]] y määratud argumendi x kaudu vahetult, vaid vahelmise muutuja u kaudu. u=g(x). Näiteks funktsioon y=(2x+5)<sup>3</sup> on liitfunktsioon, kusjuures y=u<sup>3</sup> ja u=2x+5. Esimest funktsiooni nimetatakse [[Välimine funktsioon|välimiseks]], teist [[Seesmine funktsioon|seesmiseks funktsiooniks]].
 
==NäitedDefinitsioon==
 
Olgu <math>A</math>, <math>B</math> ja <math>C</math> mingid [[hulk | hulgad]]. Funktsioonide <math>f : B \rightarrow C</math> ning <math>g : A \rightarrow B</math> ''liitfunktsiooniks'' ehk ''kompositsiooniks'' nimetatakse niisugust funktsiooni <math>h : A \rightarrow C</math>, et <math>h(x)=f(g(x))</math> iga <math>x \in A</math> korral.
<math>y= \sqrt {2x^2-4+3} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} y= \sqrt {u} \\u=x^2-4x+3 \end{matrix}\right.</math>
 
Funktsiooni <math>f</math> nimetatakse siin ''välimiseks'', funktsiooni <math>g</math> ''sisemiseks funktsiooniks''. Funktsioonide <math>f</math> ja <math>g</math> liitfunktsiooni tähistatakse sageli <math>f \circ g</math>. Mingite funktsioonide <math>f</math> ja <math>g</math> liitfunktsiooni või nende liitfunktsiooni väärtuste leidmist nimetatakse ka funktsioonide <math>f</math> ja <math>g</math> ''järjest rakendamiseks''.
<math>y=5(3x-2)^2 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=u^2 \\ u=3x-2 \end{matrix}\right. </math>
 
==Miks liitfunktsiooni argument ei ole (üldjuhul) funktsioon==
<math>y= \sin 2x \Rightarrow \left\{\begin{matrix} y= \sin u \\ u=2x \end{matrix}\right.</math>
 
Olgu mingi suurus x (mille muutumispiirkond olgu X) määrab üheselt ära suuruse u (mille väärtused kuulugu hulka U) ning suurus u määrab üheselt ära suuruse y (mis omandab väärtusi hulgast Y). Siis võime suurust y vaadelda funktsioonina suurusest u ning suurust u funktsioonina suurusest x. Et suurus <math>y</math> on funktsioon suurusest <math>u</math>, siis omab mõtet avaldis <math>y(u)</math>, mis tähistab suuruse <math>y</math> väärtus suuruse <math>u</math> mingi etteantud väärtuse korral. Samas u on funktsioon suurusest x, seega funktsiooni y argument oleks justkui funktsioon.
Liitfunktsioonil ei pruugi olla kaks koostisosa, vaid neid võib olla ka rohkem. Näiteks:
 
Eelnev arutluskäik ei ole aga matemaatiliselt korrektne (vähemalt mitte selles mõttes, nagu mõiste "funktsioon" tavaliselt defineeritakse), sest "funktsioonide" all ei mõisteta matemaatikas ranges mõttes mitte mingeid funktsionaalselt seotud suurusi, vaid ''eeskirja'' ühe suuruse põhjal teise suuruse leidmiseks (vaata artiklit [[Funktsioon (matemaatika)]]).
<math>y=e^{ \cos 5x} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=e^u \\ u= \cos v \\ v=5x \end{matrix}\right.</math>
 
Eeltoodud arutluses tekitab segadust sõnastus "suurus <math>u</math> on funktsioon suurusest <math>x</math>". Seda väljendit ei ole õige sõna-sõnalt tõlgendada - väide ''suurus <math>u</math> on funktsioon hulgal <math>X</math>'' ei ole õige. Tõepoolest, kui hulkadeks <math>X</math> ja <math>U</math> oleks kõigi reaalarvude hulk (füüsikalisi suurusi vaadeldakse ju tavaliselt reaalarvudena - näiteks võime suuruseks <math>u</math> võtta mingi keha asukoha ja suuruseks <math>x</math> kulunud aja), siis saaksime, et suurus <math>u</math> on korraga reaalarv ja funktsioon reaalarvust (ehk teisisõnu, eeskiri, mis seab igale reaalarvule vastavusse mingi reaalarvu) - vastuolu, sest meil ei ole mingit alust samastada reaalarve reaalmuutuja funktsioonidega. Näiteks keha asukoht mingil ajahetkel ei ole ju eeskiri reaalarvule reaalarvu vastavusse seadmiseks, vaid lihtsalt reaalarv.
<math>y= \ln \sin \sqrt {3x} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} y= \ln u \\ u= \sin v \\v= \sqrt{z} \\z=3x \end{matrix}\right.</math>
 
Õige on väljendit "suurus <math>u</math> on funktsioon suurusest <math>x</math>" mõista nii: ''suuruse <math>u</math> saab esitada funktsioonina suurusest <math>x</math>'', s. t. ''leidub mingi funktsioon <math>f : X \rightarrow U</math>, nii et alati kehtib seos <math>u=f(x)</math>''. Sellisel juhul leiduvad meie näites funktsioonid <math>f : X \rightarrow U</math> ja <math>g : U \rightarrow Y</math> nii, et <math>y=g(u)</math> ja <math>u=f(x)</math>. Suuruse <math>y</math> saab suuruse <math>x</math> kaudu avaldada siis liitfunktsiooni <math>f \circ g</math> abil: <math>y=(f \circ g)(x)</math>. Siin aga on funktsiooni <math>f \circ g</math> argumendiks on ikkagi reaalarv, mitte funktsioon <math>g</math>.
 
==Tähistused ja nimetused algebras ning matemaatilises analüüsis==
 
[[Algebra]]s ja [[matemaatiline analüüs | matemaatilises analüüsis]] on liitfunktsiooni jaoks veidi erinevad nimetused ja tähised.
 
Sõna ''liitfunktsioon'' kasutatakse põhiliselt matemaatilises analüüsis (algebras kasutatakse sõna ''funktsioon'' asemel tavaliselt sõna ''kujutus''), sõna ''kompositsioon'' kasutatakse nii algebras kui analüüsis.
 
Algebras nimetatakse kujutuste kompositsiooni sageli ka lihtsalt nende kujutuste ''korrutiseks'', kujutuste järjest rakendamist nende kujutuste ''korrutamiseks'' ning kujutuste <math>f</math> ja <math>g</math> korrutist tähistatakse sageli lihtsalt nende järjestkirjutisena <math>fg</math> (samamoodi nagu nt. [[reaalarvud | reaalarvuliste]] [[muutuja]]te <math>x</math> ja <math>y</math> korrutist tähistatakse <math>xy</math>). Niisugust tähistust võib põhjendada sellega, et kujutuste järjest rakendamist vaadeldakse algebras sageli [[tehe | tehtena]] mingil kujutuste hulgal; seda tehet tähistatakse tavaliselt korrutustehtena.
 
Matemaatilises analüüsis seevastu mõeldakse funktsioonide <math>f</math> ja <math>g</math> ''korrutise'' all niisugust funktsiooni <math>h</math>, et <math>h(x) = f(x)g(x)</math> iga <math>x</math> jaoks funktsiooni <math>h</math> [[määramispiirkond | määramispiirkonnast]]. Seepärast ei saa matemaatilises analüüsis sõna ''korrutis'' liitfunktsiooni kohta kasutada.
 
==Näited==
 
* Funktsiooni <math>f(x)= \sqrt {4x-x^2}</math>, <math>f : [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}</math> võime vaadelda liitfunktioonina <math>f = g \circ h</math>, kus <math>g(x) = \sqrt {x}</math>, <math>g : [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}</math> ning <math>h(x) = x^2-4x+3</math>, <math>h : [0, 4] \rightarrow [0, \infty)</math>.
 
* Funktsiooni <math>f(x)=e^{\cos 5x}</math> võime esitada kolme funktsiooni liitfunktsioonina: <math>f = u \circ (v \circ w)</math>, kus <math>u(x)=e^x</math>, <math>v(x)=\cos x</math> ning <math>w(x)=5x</math>. Õige on ka <math>f = (u \circ v) \circ w</math>; võime ka üldse sulud ära jätta ning kirjutada <math>f = u \circ v \circ w</math>, sest funktsioonide järjest rakendamise [[assotsiatiivsus]]e tõttu võib avaldises <math>u \circ v \circ w</math> sulge suvaliselt ümber paigutada.
 
* Funktsiooni <math>f(x)=\ln \sin \sqrt {3x}</math> võib esitada samamoodi nelja funktsiooni liitfunktsioonina: <math>f = t \circ u \circ v \circ w</math>, kus <math>t(x) = \ln x</math>, <math>u(x) = \sin x</math>, <math>v(x) = \sqrt x</math> ning <math>w(x)=3x</math>.
 
* Kui mingil kujutusel <math>f : A \rightarrow B</math> leidub [[pöördkujutus]] <math>f^{-1} : B \rightarrow A</math>, siis <math>(f^{-1} \circ f)(a) = a</math> iga <math>a \in A</math> jaoks ning <math>(f \circ f^{-1})(b) = b</math> iga <math>b \in B</math> jaoks. Seega kujutus <math>f^{-1} \circ f</math> on [[samasusteisendus]] hulgal <math>A</math> ning <math>f \circ f^{-1}</math> on samasusteisendus hulgal <math>B</math>.
 
* Kui üks funktsioonidest <math>f</math> ja <math>g</math> on [[konstantne]], siis ka nende funktsioonide liitfunktsioon <math>f \circ g</math> on konstantne.
 
==Liitfunktsiooni tuletis==
 
Kui <math>f</math> ja <math>g</math> on reaalmuutuja funktsioonid ning funktsioonil <math>f</math> on lõplik [[tuletis]] kohal <math>x</math> ja funktsioonil <math>g</math> on lõplik tuletis kohal <math>f(x)</math>, siis funktsioonil <math>f \circ g</math> on lõplik tuletis kohal <math>x</math> ning <math>(f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x)</math>.
Liitfunktsiooni tuletis võrdub seesmise funktsiooni ja välimise funktsiooni [[tuletis]]e korrutisega. Kui liitfunktsiooni kuulub rohkem kui kaks funktsiooni siis tuleb kõik selle funktsiooni koostisse kuuluvate funktsioonide tuletised, alates väliset, omavahel korrutada.
 
Sellest valemist saab järeldada ka valemid rohkema arvu funktsioonide liitfunktsioonide tuletise leidmiseks: näiteks kui leiduvad lõplikud <math>f'(g(h(x)))</math>, <math>g'(h(x))</math> ja <math>h'(x)</math>, siis <math>(f \circ g \circ h)'(x) = f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)</math> jne.
 
Samad liitfunktsiooni tuletise valemid kehtivad ka tuletise mõiste üldistuste jaoks, näiteks [[kompleksarvud | kompleksmuutuja]] funktsioonide liitfunktsiooni tuletise jaoks.
 
[[Kategooria:Matemaatika]]
Anonüümne kasutaja