Erinevus lehekülje "Seisulaine" redaktsioonide vahel

Lisatud 4956 baiti ,  2 aasta eest
Lisasin seisulaine matemaatilise kirjelduse.
P
(Lisasin seisulaine matemaatilise kirjelduse.)
'''Seisulaine''' on laine, mis näiliselt ei liigu. Seisulaine tekib juhul, kui kaks lainet levivad üksteisega vastassuunades. Seisulaine korral [[võnkumine|võnkumiste]] [[energia]] levikut ei toimu. Seisulaine iga punkt võngub kindla [[amplituud]]iga. Punkte, kus amplituud on maksimaalne, nimetatakse seisulaine '''paisudeks'''. Punkte, mis ei võngu (amplituud = 0) nimetatakse seisulaine '''sõlmedeks'''.
 
Laineid juhtiva [[keha]] otstel paikneb alati seisulaine sõlm. Seetõttu peab keha pikkusele L mahtuma [[täisarv]] '''m''' '''poollainepikkusi:poollainepikkus'''i:
 
:<math> L = \frac{\lambda}{2} m </math> <math> \implies \lambda_m = \frac{L}{2m} </math>
=== Röntgenikiirgus ===
Kahe röntgenikiire liitumisel ehk [[Interferents|interferentsil]] võib tekkida [[Röntgenikiirgus|röntgenikiirguse]] seisulaine. Röntgenkiirguse lühikese lainepikkuse tõttu (alla 1 nanomeetri), saab seda fenomeni kasutada, et teha [[Aatom|aatomi]] suurusjärgus mõõtmisi näiteks [[Materjaliteadus|materjalide pindade uurimisel.]] Röntgenkiirguse seisulaine tekib, kui röntgenkiir interfereerub kas [[Monokristall|monokristalli]] võrelt [[Difraktsioon|difrakteerunud]] röntgenkiirega või röntgenkiirguse jaoks mõeldud peeglilt peegeldunud röntgenkiirega. Muutes röntgenkiirguse seisulaine omadusi, muutub pinna aatomite tekitatud röntgenkiirguse [[fluorestsents]] või [[Fotoelektriline efekt|fotoelektronide]] teke, mille analüüsimise kaudu on võimalik saada infot [[Pooljuht|pooljuhtide]] lisandite kohta või pindade atomaarse ja molekulaarse [[Adsorptsioon|adsorbtsiooni]] kohta.
 
== Seisulainete matemaatiline kirjeldus ==
 
=== 1D lainevõrrandi üldlahendi tuletamine ===
Ühedimensionaalne lainevõrrand on omapärane osatuletistega diferentsiaalvõrrand, sest tal leidub üsna lihtne üldlahend.
 
Lähtume järgnevast x-suunalisest 1D lainevõrrandi kujust:
 
:<math> \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} </math>
 
Defineerime uued muutujad:
 
:<math>\xi = x - c t \quad ; \quad \eta = x + c t</math>
 
Võtame vastavad liitfunktsiooni tuletised, arvestades, et x ja t on mitme muutuja funktsioonid <math>x(\xi,\eta)</math>, <math>t(\xi,\eta)</math>
 
:<math>\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \eta} = \frac{\partial}{\partial \xi}
+ \frac{\partial}{\partial \eta}</math>
:<math>\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial \xi}{\partial t} \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial t} \frac{\partial}{\partial \eta} = -c \frac{\partial}{\partial \xi}
+ c \frac{\partial}{\partial \eta}</math>
 
asendades nad algsesse võrrandisse, saame:
 
:<math>\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0</math>
 
millest saame integreerimisel:
 
:<math>u(\xi, \eta) = F(\xi) + G(\eta)</math>
 
asendades muutujad tagasi:
 
:<math>u(x, t) = F(x - c t) + G(x + c t)</math>
 
Saadud üldlahendist näeme, et ühedimensionaalse lainevõrrandi lahend on summa kahest vastassuunas liikuvast funktsioonist. "Liikumine" tähendab, et nende funktsioonide kuju jääb samaks, aga nad nihkuvad ajas vasakule või paremale kiirusega c.
 
=== 1D seisulaine funktsiooni tuletamine<ref>{{Netiviide|Autor=Hecht, Eugene|URL=http://www.polaritech.ir/wp-content/uploads/2016/12/Hecht-optics-5ed.pdf|Pealkiri=Optics|Väljaanne=5th edition|Aeg=2017|Kasutatud=01.06.2018}}</ref> ===
Nagu ülevalpool välja toodud, rahuldab ühedimensionaalset lainevõrrandit üldlahend kujul:
 
:<math>u(x,t)=C_1 f(x-vt) + C_2 f(x+vt)</math>
 
Vaatleme kahte sama sagedusega harmoonilist lainet, mis levivad vastassuunas. Selline olukord tekib, kui pealelangev laine peegeldub kuskilt tagasi: helilainete puhul näiteks jäigalt seinalt või elektromagnetlainete puhul näiteks elektrit juhtivalt plaadilt.
 
Oletame, et pealelangev laine liigub vasakule
 
<math>E_1 = E_{01}sin(kx + wt + \epsilon_1)</math>
 
langeb peegeldavale pinnale kohas <math>x=0</math>ning peegeldub tagasi kujul:
 
<math>E_2=E_{02}sin(kx-wt+\epsilon_2)</math>
 
Algse faasi <math>\epsilon_1</math>saab arvestada nulliks, kui alustame aja mõõtmist hetkel, kui <math>E_1 = E_{01}sin(kx)</math>
 
Summaarne laine peegeldavast pinnast paremal on <math>E=E_1+E_2</math>
 
Antud olukorras tulenevad võrrandile mõned piirangud katse füüsilisest olemusest. Selliseid piiranguid nimetatakse rajatingimusteks. Edasi arvestame rajatingimusi:
 
Näiteks, kui me vaatleme nööri, mille üks ots on kinnitatud seinale kohas <math>x=0</math>, siis selles punktis peab olema nihe tasakaaaluasendist alati 0. Teisisõnu, peavad pealelangev ja peegelduv laine liituma nii, et tulemuseks saadud laine oleks 0. Sarnaselt, perfektselt juhtiva plaadi pinnal peab tulemuseks saadud laine elektrivälja komponent olema 0.
 
Seega, eeldades et <math>E_{01}=E_{02}=E_0</math>, nõuab rajatingimus, et kohas <math>x=0</math>oleks summaarne laine <math>E=0</math>iga t väärtuse jaoks. Kuna <math>\epsilon_1=0</math>, siis peab kohas <math>x=0</math>ka <math>\epsilon_2=0</math>, ehk teisisõnu peavad <math>E_1</math>ja <math>E_2</math>kohal <math>x=0</math>olema 180° erineva faasi juures, ehk <math>E_1=-E_2</math>, nullides teineteist igal ajahetkel t.
 
Summaarne lainet kirjeldav funktsioon on:
 
<math>E=E_0[sin (kx + \omega t) + sin (kx - \omega t)]</math>
 
Kasutades trigonomeetria valemit
 
<math>sin(\alpha) + sin(\beta) = 2 sin \frac1 2 (\alpha + \beta) cos \frac1 2 (\alpha - \beta)</math>
 
Saame seisulainet kirjeldavaks funktsiooniks:
 
<math>E(x,t) = 2E_0 sin( kx) cos(\omega t)</math>[[File:Standing wave.png|thumb|Tuletatud seisulaine funktsioon|282x282px]]
 
Erinevalt liikuva laine funktsioonist, ei liigu seisulaine kuju läbi ruumi, ehk ta pole kujul ƒ(x ± vt).
 
Igas punktis x = x′, on amplituudiks konstant väärtusega <math>2E_0 sin (kx')</math>ja punktis x' olev <math>E</math>muutub harmooniliselt läbi <math>cos(\omega t)</math>. Teatud punktides nagu <math>x=0, \frac \lambda2,\lambda,\frac{3\lambda}{2}, ...</math> on häiritus alati 0, need on seisulaine sõlmed. Täpselt iga sõlme keskel ehk<math>x= \frac{\lambda}{4},\frac {3\lambda}{4},\frac{5\lambda}{4}, ...</math> on paisud, kus on amplituudi väärtus <math>\pm2E_0</math>. Teisiti vaadates on häiritus ka null väärtustel, kus <math>cos(\omega t) = 0</math>, ehk kui <math>t=\frac{(2m+1)\tau}{4}</math>, kus <math>m=0,1,2,3,...</math>ja <math>\tau</math>on liituvate lainete periood.
 
== Pikilainete seisulaine kujutamine helilaine näitel ==
https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave (06.06.18)
[[Kategooria:Lained]]
 
http://mathworld.wolfram.com/dAlembertsSolution.html (11.06.18)
63

muudatust