Disjunktsioon: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
P Bot: Migrating 38 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q1651704 (translate me) |
tõlkisin ingliskeelsest vikipeediast |
||
1. rida:
{{see artikkel|räägib loogikatehtest; sõna teiste tähenduste kohta vaata lehekülge [[Disjunktsioon (täpsustus)]].}}
[[File:Venn0111.svg|thumb|220px|Tehte <math>\scriptstyle A \or B</math> [[venni diagramm]]]]
[[File:Venn 0111 1111.svg|thumb|220px|Tehte <math>\scriptstyle A \or B \or C</math> [[Venni diagramm|venni diagram]]<nowiki/>m]]'''Disjunktsioon''' ehk '''loogiline liitmine''' on binaarne loogikatehe: lausete ''A'' ja ''B'' disjunktsioon ''A''<math>\vee</math>''B'' loetakse vääraks parajasti siis, kui laused ''A'' ja ''B'' on mõlemad väärad ning tõeseks kõigil muudel juhtudel.
'''Loogiline liitmine''' ehk '''või-tehe''' on [[Boole'i algebra|Boole'i algebras]] selline tehe, mille väärtus on üks siis, kui kas või üks [[Argument|argumentidest]] võrdub ühega. Või tehte tähistamiseks kasutatakse kas pluss (+) märki või loogilise liitmise eritähist- V tähe kujulist märki <math>\vee</math>.
Samuti nimetatakse '''disjunktsiooniks''' ehk '''loogiliseks liitmiseks''' vastavat binaarset loogilist operatsiooni. Disjunktsioonist räägitakse ka [[N-aarne|n-aarse]] loogilise tehte tähenduses: disjunktsioon <math>X_1 \lor X_2 \lor \ldots \lor X_n</math> loetakse vääraks parajasti siis, kui kõik operandid <math>X_1, X_2, \ldots, X_n</math> on väärad.
[[Loomulik keel|Loomulikus keeles]] vastab disjunktsioonile sõnastus "A või B", ehk täpsemalt, "kas A või B või mõlemad". Näiteks lauset "Mari sööb või Jüri joob" võime käsitleda (mittevälistava) disjunktsioonina, kuid tavapärasem on seda tõlgendada välistavas tähenduses: "kas A või B, kuid mitte mõlemad korraga". Viimasele tähendusele vastavat loogilist operatsiooni nimetatakse [[Välistav või|välistavaks võiks]] ehk välistavaks disjunktsiooniks.
Disjunktsiooni ning [[Eitus|eituse]] abil on võimalik esitada kõik ülejäänud loogikatehted.
==Notatsioon==
Operaatorit '''või''' väljendatakse tavaliselt infiks operaatoriga:
* matemaatikas ja loogikas kastutakse sümbolit '''∨''', mis tuleb ladina keelsest sõnast ''[[wikt:en:vel#Latin|vel]]'' (Eesti keeles: "kumbki", "või").
* elektroonikas kasutatakse sümbolit '''+;'''
* enamikes programmeerimiskeeltes kasutatakse sümboleid '''|''', '''||''', või '''or'''. (Sõna "or" tähendab inglise keeles sõna "või") .
* [[Jan Łukasiewicz]]'i [[Poola notatsioon|prefiksnotatsioonis]] ehk [[Poola kuju|Poola kujus]] tähistab loogilist disjunktsiooni operaator '''A''', mis tuleb poola keelsest sõnast ''alternatywa'' (Eesti keeles: "alternatiivne").<ref>[[Józef Maria Bocheński]] (1959), ''A Précis of Mathematical Logic'', translated by Otto Bird from the French and German editions, Dordrecht, North Holland: D. Reidel, passim.</ref>
Kõik järgnevad tehted on disjunktsioonid:
: <math>A \or B</math>
: <math>\neg A \or B</math>
: <math>A \or \neg B \or \neg C \or D \or \neg E</math>
Hulgateoorias vastav operatsioon on hulgateoreetiline [[ühend]].
==Definitsioon==
'''Loogiline disjunktsioon''' on operatsiooni kahe loogilise väärtusega, enamasti kahe lausearvutuse lausega, mille väärtus on ''väär'' siis ja ainult siis, kui mõlemad sisendid on väärad. Üldisemalt on disjunktsioon loogiline valem, millel võib olla üks või mitu [[Literaal|literaali]], mis on eraldatud vaid tehte 'või' abil.
===Tõeväärtustabel===
Tehte<math>~A \or B</math> [[tõeväärtustabel]]:
{| class="wikitable" style="margin: 0 0 1em 1em"
|- bgcolor="#ddeeff" align="center"
|colspan=2|'''SISEND''' || '''VÄLJUND'''
|- bgcolor="#ddeeff" align="center"
| <math> A</math>|| <math>B</math> || <math> A \or B</math>
|- bgcolor="#ddffdd" align="center"
|TÕENE || TÕENE || TÕENE
|- bgcolor="#ddffdd" align="center"
|TÕENE || VÄÄR || TÕENE
|- bgcolor="#ddffdd" align="center"
|VÄÄR || TÕENE || TÕENE
|- bgcolor="#ddffdd" align="center"
|VÄÄR || VÄÄR || VÄÄR
|}
==Omadused==
Disjunktsioonil on järgnevad omadused:
'''[[kommutatiivsus]]: jah'''
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>A \or B</math>
| <math>\Leftrightarrow</math>
|<math>B \or A</math>
|-
|[[File:Venn0111.svg|50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[File:Venn0111.svg|50px]]
|}
'''[[assotsiatiivsus]]: jah'''
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>~A</math>
|<math>~~~\or ~~~</math>
|<math>(B \or C)</math>
| <math>\Leftrightarrow</math>
|
|
|<math>(A \or B)</math>
|<math>~~~\or ~~~</math>
|<math>~C</math>
|-
|[[File:Venn 0101 0101.svg|50px]]
|<math>~~~\or~~~</math>
|[[Fail:Venn 0011 1111.svg|50x50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[Fail:Venn 0111 1111.svg|50x50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[Fail:Venn 0111 0111.svg|50x50px]]
|<math>~~~\or~~~</math>
|[[File:Venn 0000 1111.svg|50px]]
|}
'''[[distributiivsus]]:''' mitmete loogikatehetega jah, näiteks tehtega ''[[Konjunktsioon|ning]],'' kuid mitte kõigi tehetega
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>~A</math>
|<math>\or</math>
|<math>(B \and C)</math>
| <math>\Leftrightarrow</math>
|
|
|<math>(A \or B)</math>
|<math>\and</math>
|<math>(A \or C)</math>
|-
|-
|[[File:Venn 0101 0101.svg|50px]]
|<math>\or</math>
|[[Fail:Venn 0000 0011.svg|50x50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[Fail:Venn 0101 0111.svg|50x50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[Fail:Venn 0111 0111.svg|50x50px]]
|<math>\and</math>
|[[Fail:Venn 0101 1111.svg|50x50px]]
|}
'''[[idempotentsus]]: jah'''<br>
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>~A~</math>
|<math>~\or~</math>
|<math>~A~</math>
| <math>\Leftrightarrow</math>
|<math>A~</math>
|-
|[[File:Venn01.svg|36px]]
|<math>~\or~</math>
|[[File:Venn01.svg|36px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[File:Venn01.svg|36px]]
|}
'''[[Monotoonne funktsioon|monotoonsus]]: jah'''
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|<math>A \rightarrow B</math>
| <math>\Rightarrow</math>
|
|
|<math>(A \and C)</math>
|<math>\rightarrow</math>
|<math>(B \and C)</math>
|-
||[[File:Venn 1011 1011.svg|50px]]
| <math>\Rightarrow</math>
||[[File:Venn 1111 1011.svg|50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
||[[File:Venn 0000 0101.svg|50px]]
|<math>\rightarrow</math>
||[[File:Venn 0000 0011.svg|50px]]
|}
'''tõesust säilitav: jah'''<br>
Kui kõik sisendid on tõesed, on ka väljund tõene
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>A \or B</math>
| <math>\Rightarrow</math>
|<math>A \or B</math>
|-
|[[Fail:Venn0111.svg|50x50px]]
| <math>\Rightarrow</math>
|[[Fail:Venn0111.svg|60x60px]]
|}
'''väärsust säilitav: jah'''<br>
Kui kõik sisendid on väärad, on ka väljund väär.
==Rakendused informaatikas==
[[File:Or-gate-en.svg|thumb|150px|[[VÕI|OR värav]]]]
[[Operaator (matemaatika)|Operaatorid]], mis vastavad loogilisele disjunktsioonile, on olemas enamikes [[Programmeerimiskeel|programmeerimiskeeltes]].
===Loogikatehted===
Disjunktsiooni kasutatakse tihti bitikaupa tehtavates operatsioonides. Näiteks:
* 0 või 0 = 0
* 0 või 1 = 1
* 1 või 0 = 1
* 1 või 1 = 1
* 1010 või 1100 = 1110
Operaatorit <code>or</code> võib kasutada selleks, et muuta bitiväljas (''bit field'') olevate bittide väärtust väärtuseks 1. Selleks tuleb bitivälja bittidele rakendada tehet <code>or</code> konstantväljaga, kus on sobivatel kohtadel bittide väärtus 1. Näiteks <code>x = x | 0b00000001</code> määrab viimase biti väärtuseks 1 ning jätab ülejäänud bitid muutumata.
===Loogiline operatsioon===
Paljud keeled eristavad bitikaupa disjunktsiooni ja loogilise disjunktsiooni, andes nendeks kaks eraldi operaatorit. Peale [[C (programmeerimiskeel)|C]]-d välja tulnud keeled on bitikaupa tehtava operatsiooni tähistamiseks kasutatakse ühte püstkriipsu (<code>|</code>) ning loogilise disjunktsiooni jaoks kasutatakse kahte püstkriipsu (<code>||</code>).
Paralleelprogrammeerimiskeeltes (''concurrent/parallel language''), väärtustatakse mõlemat disjunktsiooni poolt korraga ning kui ühe väärtus tuleb ''tõene'', siis teise väärtustamise katkestatakse. Sellist opearaatorit kutsutakse nimega '''paralleelne või.'''
Kuigi enamikes keeltes on loogilise disjunktsooni andmetüüp boolean ehk selle väärtus on kas <code>tõene</code> või <code>väär</code>, tagastab mõnes keeles, nagu [[Python (programmeerimiskeel)|Python]] ja [[JavaScript]], loogilise disjunktsiooni operaator ühe operandidest: esimese operandi, kui disjunktsioon väärtustatakse tõeseks ning teise operandi vastasel juhul.
==Vastavus hulgateoorias==
Elemendi kuuluvus kahe hulga [[ühend]]<nowiki/>isse on hulgateoorias defineeritud loogilise disjunktsiooni kaudu ''x'' ∈ ''A'' ∪ ''B'' [[parajasti siis, kui]] (''x'' ∈ ''A'') ∨ (''x'' ∈ ''B''). Selle tõttu on hulgateoreetilisel ühendil palju samu omadusi, mis loogilisel disjunktsioonil, nagu assotsiatiivus, kommutatiivsus, distributiivsus ja [[de Morgani seadused]].
==Loomulik keel==
Nagu ka teiste [[Matemaatiline loogika|matemaatilises loogikas]] kasutatud notatsioonidega, on loogilise konjunktsiooni tähendus tihedalt seotud loomuliku keele sõnaga ''või'', kuid siiski erineb loogilisest ''või'''st. Näiteks, "Palun helista mulle või saada meil" tähendab enamasti "tee ühte või teist, aga mitte mõlemat". Samas lause "Tema hinded olid nii head, et ta on kas väga tark või ta lihtsalt õpib hästi palju" ei välista võimalust, et mõlemad tingimused kehtiksid samaaegselt. Teisisõnu, tavakasutuses võib sõna "või" tähendada nii [[Välistav disjunktsioon|välistavat disjunktsiooni]] kui ka tavalist disjunktsiooni, olenevalt kontekstist.
==Vaata ka==
{{col-begin}}
{{col-break}}
* [[Konjunktsioon]]
* [[Eitus]]
* [[Välistav või]]
* [[Boole'i algebra]]
* [[XOR]]{{col-break}}{{col-break}}{{col-end}}
==Märkused==
* [[George Boole]], järgides lähedalt analoogiat tavamaatemaatikaga, seadis definitsiooni "x + y" vajalikuks eelduseks, et x ja y on üksteist välistavad. [[William Stanley Jevons]] ja põhimõtteliselt kõik temale järgnenud matemaatilised loogikud, kasutasid "loogilise liitmise" definitsiooni nii, et selle eelduseks ei oleks vaja üksteise välistamist.
==Viited==
{{Reflist}}
==Välislingid==
* Eric W. Weisstein. [http://mathworld.wolfram.com/Disjunction.html "Disjunction."] From MathWorld—A Wolfram Web Resource
{{Loogiline tehe}}
| |||