Konjunktsioon: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
P Tühistati kasutaja 194.204.41.254 (arutelu) tehtud muudatused ja pöörduti tagasi viimasele muudatusele, mille tegi Addbot. |
tõlgitud ingliskeelsest vikipeediast |
||
1. rida:
[[File:Venn0001.svg|220px|thumb|<math>\scriptstyle A \and B</math> tähisav [[Venn diagram|Venni diagramm]]]]
[[File:Venn 0000 0001.svg|220px|thumb|<math>\scriptstyle A \and B \and C</math> tähistav Venni diagramm]]
'''Konjunktsioon''' ehk '''loogiline korrutamine''' on binaarne loogikatehe: lausete ''A'' ja ''B'' konjunktsioon ''A''<math>\and</math>''B'' loetakse tõeseks parajasti siis, kui laused ''A'' ja ''B'' on mõlemad tõesed ning vääraks kõigil muudel juhtudel.<ref name=":1">{{Raamatuviide|autor=Enn Kasask|pealkiri=Loogika alused|aasta=|koht=|kirjastus=|lehekülg=261}}</ref>
"
Seotud mõisted teistes valdkondades on järgmised:
* [[Loomulik keel|Loomulikus keeles]] on konjunktsioonile kõige sarnasem sõna "ja" või "ning".<ref name=":1" />
* [[Hulgateooria|Hulgateoorias]], [[ühisosa]].
* [[Predikaatloogika|Predikaatloogikas]], [[üldisuskvantor]].
Konjunktsiooni ning [[Eitus|eituse]] abil on võimalik esitada kõik ülejäänud loogikatehted.<ref>{{Netiviide|Autor=Valdis Laan|URL=https://courses.ms.ut.ee/LTMS.00.019/2018_spring/uploads/Main/kon.pdf|Pealkiri=Diskreetne Matemaatika I. Kevad 2018. Loengukonspekt.|Väljaanne=|Aeg=|Kasutatud=|Täpsustus=Teoreem 1.24}}</ref>
==Notatsioon==
'''Konjunktsiooni''' tähistatakse tavaliselt infiks operaatoriga:
* matemaatikas ja loogikas kasutatakse sümbolit <math>\and</math> või <math>\times</math>või <math>\And</math>
* elektroonikas kasutatakse sümbolit <math>\cdot</math>
* programmeerimiskeeltes kasutatakse tähistust'''<code>&</code>''', '''<code>&&</code>''', või '''<code>and</code>'''
* [[Jan Łukasiewicz]]'i [[Poola kuju|loogika prefiksnotatsioonis]] on vastav operaator '''K''', mis tuleb poola keelsest sõnast ''koniunkcja<ref name=":0">[[Józef Maria Bocheński]] (1959), ''A Précis of Mathematical Logic'', translated by Otto Bird from the French and German editions, Dordrecht, North Holland: D. Reidel, passim.</ref>'' (Eesti keeles: konjunktsioon).
==Definitsioon==
'''Loogiline konjunktsioon''' on operatsioon kahel loogilisel väärtusel, enamasti kahel propositsioonil, mis väljastab väärtuse ''tõene'' siis ja ainult siis, kui mõlemad operandid on tõesed.
===Tõeväärtustabel===
[[File:Multigrade operator AND.svg|thumb|Vasakul poolel olevate argumentide konjunktsioonid — [[Sierpinski kolmnurk|Sierpinski kolmnurga]] tõesed [[Bitt|bitid]].]]
Valemi<math>~A \and B</math> tõeväärtustabel:<ref>{{Raamatuviide|autor=Tõnu Tamme, Tanel Tammet, Rein Prank|pealkiri=Loogika: Mõtlemisest tõestamiseni|aasta=|koht=|kirjastus=|lehekülg=69}}</ref>
{| class="wikitable" style="margin: 0 0 1em 1em"
|- bgcolor="#ddeeff" align="center"
|colspan=2|'''SISEND''' || '''VÄLJUND'''
|- bgcolor="#ddeeff" align="center"
| <math> A</math>|| <math>B</math> || <math> A \and B</math>
|- bgcolor="#ddffdd" align="center"
|TÕENE || TÕENE || TÕENE
|- bgcolor="#ddffdd" align="center"
|TÕENE || VÄÄR || VÄÄR
|- bgcolor="#ddffdd" align="center"
|VÄÄR || TÕENE || VÄÄR
|- bgcolor="#ddffdd" align="center"
|VÄÄR || VÄÄR || VÄÄR
|}
===Teiste operaatorite läbi defineerimine===
Süsteemides, kus lauseloogika konnektor pole primitiiv, võib konjunktsiooni defineerida järgmiselt:<ref>{{Cite web|last=Smith|first=Peter|url=http://www.logicmatters.net/resources/pdfs/ProofSystems.pdf|title=Types of proof system|page=4}}</ref>
:<math>A \land B = \neg(A \to \neg B) </math>
==Omadused==
Konjunktsioonil on järgnevad omadused:
'''[[kommutatiivsus]]: jah'''
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>A \and B</math>
| <math>\Leftrightarrow</math>
|<math>B \and A</math>
|-
|[[
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[File:Venn0001.svg|50px]]
|}
'''[[assotsiatiivsus]]: jah'''
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>~A</math>
|<math>~~~\and~~~</math>
|<math>(B \and C)</math>
| <math>\Leftrightarrow</math>
|
|
|<math>(A \and B)</math>
|<math>~~~\and~~~</math>
|<math>~C</math>
|-
|[[File:Venn 0101 0101.svg|50px]]
|<math>~~~\and~~~</math>
|[[File:Venn 0000 0011.svg|50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[File:Venn 0000 0001.svg|50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[File:Venn 0001 0001.svg|50px]]
|<math>~~~\and~~~</math>
|[[File:Venn 0000 1111.svg|50px]]
|}
'''[[distributiivsus]]:''' mitmete loogikatehetega jah, näiteks tehtega ''[[Disjunktsioon|või]],'' kuid mitte kõigiga
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>~A</math>
|<math>\and</math>
|<math>(B \or C)</math>
| <math>\Leftrightarrow</math>
|
|
|<math>(A \and B)</math>
|<math>\or</math>
|<math>(A \and C)</math>
|-
|-
|[[File:Venn 0101 0101.svg|50px]]
|<math>\and</math>
|[[File:Venn 0011 1111.svg|50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[File:Venn 0001 0101.svg|50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[File:Venn 0001 0001.svg|50px]]
|<math>\or</math>
|[[File:Venn 0000 0101.svg|50px]]
|}
{| class="collapsible collapsed" style="width: 100%; border: 1px solid #aaaaaa;"
! bgcolor="#ccccff"|Näiteid konjunktsiooni distributiivsusest teiste tehetega
|-
|
[[Välistav disjunktsioon|välistava võiga]]: jah
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>~A</math>
|<math>\and</math>
|<math>(B \oplus C)</math>
| <math>\Leftrightarrow</math>
|
|
|<math>(A \and B)</math>
|<math>\oplus</math>
|<math>(A \and C)</math>
|-
|-
|[[File:Venn 0101 0101.svg|50px]]
|<math>\and</math>
|[[File:Venn 0011 1100.svg|50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[File:Venn 0001 0100.svg|50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[File:Venn 0001 0001.svg|50px]]
|<math>\oplus</math>
|[[File:Venn 0000 0101.svg|50px]]
|}
[[Mitteimplikatsioon|materiaalse mitteimplikatsiooniga]]: jah
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>~A</math>
|<math>\and</math>
|<math>(B \nrightarrow C)</math>
| <math>\Leftrightarrow</math>
|
|
|<math>(A \and B)</math>
|<math>\nrightarrow</math>
|<math>(A \and C)</math>
|-
|-
|[[File:Venn 0101 0101.svg|50px]]
|<math>\and</math>
|[[File:Venn 0011 0000.svg|50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[File:Venn 0001 0000.svg|50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[File:Venn 0001 0001.svg|50px]]
|<math>\nrightarrow</math>
|[[File:Venn 0000 0101.svg|50px]]
|}
iseendaga: jah
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>~A</math>
|<math>\and</math>
|<math>(B \and C)</math>
| <math>\Leftrightarrow</math>
|
|
|<math>(A \and B)</math>
|<math>\and</math>
|<math>(A \and C)</math>
|-
|-
|[[File:Venn 0101 0101.svg|50px]]
|<math>\and</math>
|[[File:Venn 0000 0011.svg|50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[File:Venn 0000 0001.svg|50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[File:Venn 0001 0001.svg|50px]]
|<math>\and</math>
|[[File:Venn 0000 0101.svg|50px]]
|}
|}
'''[[idempotentsus]]: jah'''<br>
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>~A~</math>
|<math>~\and~</math>
|<math>~A~</math>
| <math>\Leftrightarrow</math>
|<math>A~</math>
|-
|[[File:Venn01.svg|36px]]
|<math>~\and~</math>
|[[File:Venn01.svg|36px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
|[[File:Venn01.svg|36px]]
|}
'''[[Monotoonne funktsioon|monotoonsus]]: jah'''
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|<math>A \rightarrow B</math>
| <math>\Rightarrow</math>
|
|
|<math>(A \and C)</math>
|<math>\rightarrow</math>
|<math>(B \and C)</math>
|-
||[[File:Venn 1011 1011.svg|50px]]
| <math>\Rightarrow</math>
||[[File:Venn 1111 1011.svg|50px]]
| <math>\Leftrightarrow</math>
||[[File:Venn 0000 0101.svg|50px]]
|<math>\rightarrow</math>
||[[File:Venn 0000 0011.svg|50px]]
|}
'''tõesust säilitav: jah'''<br>
Kui kõik sisendid on tõesed, on ka väljund tõene
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>A \and B</math>
| <math>\Rightarrow</math>
|<math>A \and B</math>
|-
|[[File:Venn0001.svg|50px]]
| <math>\Rightarrow</math>
|[[File:Venn0001.svg|60px]]
|-
|
|
|{{small|(vajab testimist)}}
|}
'''väärsust säilitav: jah'''<br>
Kui kõik sisendid on väärad, on ka väljund väär.
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
|<math>A \and B</math>
| <math>\Rightarrow</math>
|<math>A \or B</math>
|-
|[[File:Venn0001.svg|60px]]
| <math>\Rightarrow</math>
|[[File:Venn0111.svg|50px]]
|-
|{{small|(vajab testimist)}}
|
|
|}
'''[[Hadamard transform|Walshi spektrum]]: (1,-1,-1,1)'''
'''Mittelineaarsus: 1''' (funktsioon on kõver)
Kasutades binaarseid väärtuseid tõese (1) ja väära (0) jaoks, siis töötab loogiline konjuktsioon täpselt nagu aritmeetiline [[korrutamine]].
==Rakendusi informaatikas==
[[File:AND Gate diagram.svg|thumb|right|AND [[loogikavärav]]]]
Kõrgetasemelises programmeerimises ja digitaalses elektroonikas on konjunktsioon tavaliselt tähistatud infiks operaatoriga, enamasti tähisega nagu "<code>AND</code>", algebraline korrutamistehe või sümbol "<code>&</code>".
Loogilist konjunktsiooni kastutatakse tihti bitikaupa tehtavates operatsioonides, kus tähistab <code>0</code> väära ja <code>1</code> on tõene.
* <code>0 AND 0</code> = <code>0</code>,
* <code>0 AND 1</code> = <code>0</code>,
* <code>1 AND 0</code> = <code>0</code>,
* <code>1 AND 1</code> = <code>1</code>.
Seda operatsiooni saab rakendada ja kahele binaarsele sõnale, mida vaadeldakse võrdse pikkusega [[Bitistring|bitistringidena]], leides iga samal positsioonil oleva bitipaari jaoks neile vastava AND väärtuse. Näiteks;
* <code>11000110 AND 10100011</code> = <code>10000010</code>.
Seda saab kasutada, et valida mingi osa bitistringist [[Bitimask|bitimaski]] kasutades. Näiteks <code>1001'''1'''101 AND 0000'''1'''000</code> = <code>0000'''1'''000</code>eraldab viienda biti 8-bitisest bitistringist.
[[Arvutivõrk|Arvutivõrkude]] teaduses, kasutatakse bitimaske olemasoleva alamvõrgu võrguaadressi leidmisel nii, et ANDitakse IP aadress ja alamvõrgu mask.
Loogiline konjunktsioon "<code>AND</code>" on ka kasutusel [[SQL]] operatsioonides [[Andmebaas|andmebaasi]] päringutel.
==Vastavus hulgateoorias==
Elemendi kuuluvus kahe hulga [[Ühisosa|ühisosasse]] on [[Hulgateooria|hulgateoorias]] defineeritud loogilise konjunktsiooni abil: ''x'' ∈ ''A'' ∩ ''B'' [[Parajasti siis, kui|siis ja ainult siis, kui]] (''x'' ∈ ''A'') ∧ (''x'' ∈ ''B''). Selle vastavuse tõttu jagab hulgateoreetiline ühisosa samuti mitmeid loogilise konjunktsiooni omadusi, nagu [[assotsiatiivsus]], [[kommutatiivsus]] ja [[idempotentsus]].
==Loomulik keel==
Nagu ka [[Matemaatiline loogika|matemaatilise loogika]] teiste tehetega, on loogiline konjunktsioon ''ning'' seotud, kuid mitte täpselt võrdne, [[Grammatiline konjunktsioon|grammatilisele konjunktsioonile]] ''ning'' loomulikus keeles.
Eesti keele sõnal "ning" (või "ja") on omadused, mida loogiline konjunktsioon ei säilita. Näiteks tähistab "ning" vahel järjekorda. Lause "Nad abiellusid ning said lapse" tähendaks tavaarusaama järgi, et abiellumine toimus enne lapse saamist. Sõna "ning" ("ja") võib ka võib ka väljendada mingi asja osadeks tegemist, nagu lauses "Eesti lipp on sinine, must ja valge". See lause ei tähenda, et Eesti lipp on samaaegselt sinine, must ja valge, vaid seda, et lipu erinevatel osadel on erinev värv.
==Vaata ka==
* [[NING]]
* [[Poola kuju]]
==Viited==
{{reflist}}
==Välislingid==
*[http://mathworld.wolfram.com/Conjunction.html Wolfram MathWorld: Conjunction]
| |||