Zermelo aksiomaatika: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
10. rida:
2. Piirkonda ''B'' kuuluvate asjade vahel on põhiseosed kujul ''aεb''. Kui ''aεb'', siis öeldakse, et ''a'' on ''b'' [[element (matemaatika)|element]]. Asja ''b'', millel on elemendiks teine asi ''a'', võib alati nimetada hulgaks. See on ka [[tarvilik tingimus]] ainult ühe erandiga (aksioom II).
3. Kui hulga ''M'' iga element on ühtlasi hulga ''N'' element, siis öeldakse, et hulk ''M'' on hulga ''N'' element, ning kirjutatakse ''M'' ⊆ ''N''. See seos on [[refleksiivsus|refleksiivne]] ja [[transitiivsus|transitiivne]]. [[Mittelõikuvad hulgad|Mittelõikuvateks]] nimetatakse hulki ''M'' ja ''N'' juhul, kui ükski hulga ''M'' element ei ole hulga ''N'' element.
4. Küsimust või väidet ''E'', mille kehtivuse või kehtetuse üle põhiseosed aksioomide ja üldkehtivate loogikaseaduste alusel ilma suvata otsustavad, nimetatakse definiitseks. "Klassiväidet" ''E''(''x''), mille korral [[muutuja]] ''x'' võtab [[väärtus (matemaatika)|väärtus]]ed klassist ''K'', nimetatakse definiitseks, kui ta on definiitne klassi ''K'' iga indiviidi ''x'' korral. Küsimus, kas ''aεb'', on alati definiitne, ja küsimus, kas ''M'' ⊆ ''N'', on alati definiitne.
26. rida:
6. Nullhulk on iga hulga alamhulk. Hulga alamhulka, mis ei ole nullhulk ega hulk ise, nimetatakse hulga osaks. Nullhulgal ja hulgal {''a''} ei ole osi.
Aksioom III. Kui klassiväide ''E''(''x'') on hulga ''M'' kõigi elementide korral definiitne, siis on hulgal ''M'' alati alamhulk ''M''<sub>''E''</sub>, mille elemendid on parajasti need hulga ''M'' elemendid ''x'', mille korral ''E''(''x'') on [[tõesus|tõene]]. ([[Väljaeraldamise aksioom]] ehk eraldamise aksioom.)
Et aksioom III võimaldab defineerida palju uusi hulki, on see teatud asendus üldisele hulgadefinitsioonile, millest kui kõlbmatust on loobutud. Esimene erinevus on see, et selle aksioomi abiga ei defineerita hulki sõltumatult, vaid eraldatakse välja juba antud hulkade alamhulkadena, nii et välistatakse sellised vastuolulised moodustised nagu "[[kõigi hulkade hulk]]" ja "kõigi ordinaalarvude hulk" ning sellega "[[ultrafiniitsed paradoksid]]" ([[Gerhard Hessenberg]], "Grundbegriffe der Mengenlehre"). Teine erinevus on see, et määrav kriteerium ''E''(''x'') peab olema selgituse nr 4 mõttes definiitne, ning sellega langevad ära kõik niisugused kriteeriumid nagu "lõpliku arvu sõnadega defineeritav" ning sellega [[Richardi antinoomia]] ehk lõpliku nimetuse paradoks. Enne aksioomi III rakendamist tuleb tõestada, et kriteerium on definiitne.
{{pooleli}}
| |||