Redaktsioon: 14. jaanuar 2007, kell 21:56 redigeeri Redo (arutelu \| kaastöö) 171 muudatust must algversioon, hakkan kohe vikistama		Redaktsioon: 14. jaanuar 2007, kell 22:43 redigeeri eemalda Redo (arutelu \| kaastöö) 171 muudatust vikistatud Uuem muudatus →
1. rida: ~~Naturaalarvude~~[[Naturaalarv]]ude <math>a</math> ja <math>b</math> '''suurimaks ühisteguriks''' (SÜT) nimetatakse suurimat naturaalarvu <math>c</math>, millega jaguvad <math>a</math> ja <math>b</math> nii, et ~~jääki~~[[jääk]]i ei jää (st jääk on 0). Sageli loetakse suvalise naturaalarvu <math>a</math> ning ~~nulli~~arvu [[null\|0]] suurimaks ~~ühisteguriks~~[[ühistegur]]iks arvu <math>a</math> ennast, st ''SÜT(a, 0) = a''. Arve, mille suurim ühistegur on 1, nimetatakse '''ühisteguriteta arvudeks'''. Mõnikord defineeritakse ka naturaalarvude <math>a_1, a_2, ..., a_n</math> suurim ühistegur: ''SÜT(<math>a_1, a_2, ..., a_n</math>) = SÜT(... SÜT(SÜT(<math>a_1, a_2</math>), <math>a_3</math>),<math>..., a_n</math>)''. Tähistatakse ~~SÜT~~<math>\operatorname{S\ddot{U}T}(a, b) = c</math>. Näiteks ''SÜT(6, 14) = 2'', sest suurim naturaalarv, millega 6 ja 14 jäägita jaguvad, on 2; ''SÜT(9, 7) = 1; SÜT(6, 0) = 6''. ==Omadused==▼ ▲Omadused Olgu a, b, c, n, r naturaalarvud. SÜT(a, b) = SÜT(b, a).▼ SÜT(na, nb) = n SÜT(a, b).▼ ~~Kui c on arvude a ja b ühistegur, siis~~* ''SÜT(a/c, b/c) = SÜT(ab, ba) ~~/ c~~''. Kui SÜT(a, c) = 1, SÜT(b, c) = 1, siis ka SÜT(ab, c) = 1.▼ ▲* ''SÜT(ana, bnb) = n SÜT(ba, ab)''. * Kui ''c'' on arvude ''a'' ja ''b'' ühistegur, siis <math>\operatorname{S\ddot{U}T}({a \over c}, {b over c}) = {\operatorname{S\ddot{U}T}(a, b) \over c}</math>. ▲* Kui ''SÜT(a, c) = 1, SÜT(b, c) = 1'', siis ka ''SÜT(ab, c) = 1''. * Kui ''a'' on ckorrutise ''bc'' jagaja ja ~~b on c jagaja ning~~ ''SÜT(a, b) = 1'', siis ~~korrutis ab~~''a'' on ''c'' jagaja.▼ * Kui ''a'' on ''c'' [[jagaja]] ja ''b'' on ''c'' jagaja ning ''SÜT(a, b) = 1'', siis korrutis ''ab'' on ''c'' jagaja. * Kui a''r'' on ~~korrutise~~jääk, bcmis ~~jagaja~~tegib jaarvu ~~SÜT(~~''a,'' b)jagamisel =arvuga 1''b'', siis ''SÜT(a, onb) c= ~~jagaja~~SÜT(b, r)''. ▲Kui a on c jagaja ja b on c jagaja ning SÜT(a, b) = 1, siis korrutis ab on c jagaja. * Olgu ''VÜK(b, c)'' arvude ''b'' ja ''c'' [[vähim ühiskordne]], siis <math>\operatorname{S\ddot{U}T} (b, c) = { {b c} \over {\operatorname{V\ddot{U}K} (b, c)} }</math>, ~~Kui r on jääk, mis tegib arvu a jagamisel arvuga b, siis SÜT(a, b) = SÜT(b, r).~~ ▲* ''SÜT(na2^a - 1, nb2^b - 1) = n 2^(SÜT(a, b)) - 1''. ~~Olgu VÜK(b, c) arvude b ja c vähim ühiskordne, siis~~ ~~SÜT(b, c) = bc / VÜK(b, c),~~ ~~SÜT(2^a - 1, 2^b - 1) = 2^(SÜT(a, b)) - 1.~~ ==Arvutamine== Levinud on kaks SÜT arvutamise viisi. Leiame arvude ''a'' ja ''b'' kõik ~~algtegurid~~[[algtegur]]id (st algarvud, millega ''a'' ja ''b'' jaguvad jäägita). Leitud algteguritest eraldame SÜT arvutamiseks kõik need, mis on nii ''a'' kui ka ''b'' algteguriteks. Eraldatud algtegurid korrutame kokku. Näiteks ''SÜT(84, 720)'' arvutamiseks: <math>84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 </math> ja <math>720 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5</math>. Kuna mõlemas korrutises on sees tegurid <math>2 \cdot 2</math> ja 3, siis ~~SÜT~~<math>\operatorname{S\ddot{U}T} (84, 720) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12</math>. Teine ja efektiivsem meetod on [[Eukleidese algoritm]]. Esimese sammuna leiame jäägi, mis tekib suurema arvu jagamisel väiksemaga. Järgmistel sammudel võtame eelmise sammu jagaja ning jagame teda jäägiga, mis eelmisel sammul leiti. Seda teeme nii kaua, kuni jäägiks saab null; siis esialgsete arvude SÜT on jagaja, millega jagamisel saadigi viimasel sammul jäägiks null. Näiteks ''SÜT(84, 720)'' arvutamiseks: 720 / 84 = 8, jääk 48; 84 / 48 = 1, jääk 36; 48 / 36 = 1, jääk 12; 36 / 12 = 3, jääk 0. Seega ''SÜT(84, 720) = 12''. ==Vaata ka== http://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html

Suurim ühistegur: erinevus redaktsioonide vahel