Ruutvõrrand: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
PResümee puudub |
Resümee puudub |
||
229. rida:
Carlyle'i ringjoonel on ka omadus, et punktid <math>(x_1, 0)</math>, <math>(x_2, 0)</math>, <math>(-p, q)</math> ja <math>(0, q)</math> asuvad korraga nii ringjoonel kui ka funktsiooni <math>y = x^2 + px + q</math> graafikul.
Geomeetriliste meetodite seas on keskne roll meetodil, millega saab leida antud arvu ruutjuurt, see tähendab, lahendada võrrandit <math>x^2 = q</math>, kus <math>q</math> on positiivne arv. Järgnev konstruktsioon on esitatud [[Eukleides]]e peateose [[Elemendid_(Eukleides)|Elemendid]] II raamatu 14. lauses.
[[File:Ruutjuure geomeetriline leidmine.svg|250px|left|pisi|Ruutjuure geomeetriline leidmine.]]
Tõmbame lõigu <math>AB</math> pikkusega <math>q</math>. Pikendame seda üle punkti <math>B</math> punktini <math>C</math> nii, et lõigu <math>BC</math> pikkus oleks <math>1</math>. Leiame lõigu <math>AC</math> keskpunkti <math>D</math> ning konstrueerime poolringjoone, mis toetub diameetrile <math>AC</math>. Tõmbame lõigule <math>AC</math> punktist <math>B</math> ristsirge. Olgu <math>E</math> selle ristsirge lõikepunkt poolringjoonega. Siis lõigu <math>BE</math> pikkus on <math>\sqrt{q}</math>.
See järeldub kolmnurkade <math>BEC</math> ja <math>BAE</math> sarnasusest: kehtib seos <math>BE : BC = BA : BE</math>, millest <math>BE = \sqrt{q}</math>.
Meetodites, mis ei kasuta koordinaatsüsteemi, eeldatakse tavaliselt, et võrrandi kordajad ja lahendid on teatavate lõikude pikkused. Seetõttu peab lahendatav võrrand olema esitatav kujul, kus kõik kordajad on positiivsed, samuti vähemalt üks lahend. Täielikke taandatud ruutvõrrandeid, mis neid tingimusi rahuldavad, on kolme tüüpi: <math>x^2 + q = px</math>, <math>x^2 + px = q</math> ja <math>x^2 = px + q</math>. Viète'i valemite põhjal on neist esimesel ruutvõrrandil kaks positiivset lahendit, teisel ja kolmandal aga üks positiivne ja üks negatiivne lahend. Seejuures on teise ruutvõrrandi lahendid kolmanda võrrandi lahendite vastandarvud.
Võrrandi <math>x^2 + q = px</math> lahendamiseks tõmbame lõigu <math>AB</math> pikkusega <math>p</math>. Konstrueerime ringjoone, mille diameeter on <math>AB</math>. Tõmbame punktist <math>A</math> lõigule <math>AB</math> ristlõigu <math>AC</math> pikkusega <math>\sqrt{q}</math> ja punktist <math>C</math> kiire risti lõiguga <math>AC</math>. Olgu <math>D</math> ja <math>E</math> selle kiire lõikepunktid ringjoonega. Võrrandi lahendid on lõigu <math>CD</math> pikkus ja lõigu <math>CE</math> pikkus.
Võrrandite <math>x^2 + px = q</math> ja <math>x^2 = px + q</math> lahendamiseks järgime sama protseduuri kuni punkti <math>C</math> konstrueerimiseni. Seejärel tõmbame punktist <math>C</math> kiire läbi ringjoone keskpunkti <math>O</math>. Olgu <math>D</math> ja <math>E</math> vastavalt selle kiire esimene ja teine lõikepunkt ringjoonega. Võrrandi <math>x^2 + px = q</math> positiivne lahend on lõigu <math>CD</math> pikkus ja võrrandi <math>x^2 = px + q</math> positiivne lahend lõigu <math>CE</math> pikkus.
{|style="margin: 0 auto;"
| [[File:Ruutvõrrand geomeetriliselt 2 lahendiga.svg|250px|thumb|alt=Geomeetriline konstruktsioon|Ruutvõrrandi <math>x^2 + q = px</math> lahendid geomeetriliselt.]]
| [[File:Ruutvõrrand geomeetriliselt 1 lahendiga.svg|250px|thumb|alt=Geomeetriline konstruktsioon|Ruutvõrrandite <math>x^2 + px = q</math> ja <math>x^2 = px + q</math> lahendid geomeetriliselt.]]
|}
Geomeetrilised meetodid olid ruutvõrrandi lahendamisel tavalised kuni keskajani, mil võimsamad ja üldisemad algebralised meetodid nad asendasid.
==Vaata ka==
| |||