Redaktsioon: 10. november 2015, kell 10:39 redigeeri Urmasb (arutelu \| kaastöö) 4 muudatust →‎Diskriminant: Uue õppekava järgi õpetatatakse, et ruutvõrrandil on alati kaks lahendit, et ruutkolmliikme tegurdamine oleks alati üheselt arusaadav. Kui D<0, siis koolimatemaatika jaoks lahendeid pole aga muidu ka kaks lahendit. Märgis: Visuaalmuudatus ← Vanem muudatus		Redaktsioon: 24. september 2017, kell 19:00 redigeeri eemalda Rainerk32 (arutelu \| kaastöö) 159 muudatust Resümee puudub Uuem muudatus →
1. rida: [[Fail:AndraGrad-4.png\|pisi\|Ruutvõrrandi lahendid on ruutfunktsiooni nullkohad.]] ~~'''Ruutvõrrand''' on [[Teise astme võrrand\|teise astme]] [[algebraline võrrand]]. Ühe tundmatuga ruutvõrrand on teisendatav kujule~~ '''Ruutvõrrand''' on [[algebraline võrrand]] üldkujuga ~~: <math>ax^2+bx+c=0,\,\!</math>~~ : <math>ax^2 + bx + c = 0</math>, ~~kus ''a'' ≠ 0. <ref> Kui ''a'' = 0, siis ruutliige puudub ja on tegemist [[lineaarvõrrand]]iga.</ref>~~ kus <math>x</math> on tundmatu ning <math>a</math>, <math>b</math> ja <math>c</math> on arvud, kusjuures <math>a \not= 0</math>. Ruutvõrrandi ~~[[lahend]]id <math>x_{1,2}</math>~~lahendivalem on ~~antud [[valem]]iga~~ : <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>. Reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandil on reaalarvude hulgas alati kas kaks erinevat, kaks kokkulangevat või mitte ühtegi [[Võrrandi lahend\|lahendit]]. Geomeetrilises tõlgenduses asuvad ruutvõrrandi lahendid kohtadel, kus [[Ruutfunktsioon\|ruutfunktsiooni]] <math>y = ax^2 + bx + c</math> graafik lõikab <math>x</math>-telge. ~~== Ruutvõrrandi liikmed==~~ <math>ax^2</math> - [[ruutliige]] (tundmatu teise astme liige); bx - [[lineaarliige]] (tundmatu esimese astme liige); c - [[vabaliige]] (ei sisalda tundmatut). == Definitsioon == ~~== Normaalkujuline ruutvõrrand ==~~ Ruutvõrrand on võrrand kujul ~~Ruutvõrrand, mille vasakul poolel on esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige, teisel kohal lineaarliige, kolmandal kohal vabaliige ning paremal poolel null, on normaalkujuline ruutvõrrand.~~ : <math>ax^2 + bx + c = 0</math>, kus <math>x</math> on tundmatu ehk otsitav ning <math>a</math>, <math>b</math> ja <math>c</math> on antud arvud, kusjuures <math>a \not= 0</math>. Võrrandi vasaku poole avaldises on <math>ax^2</math> ruutliige ehk pealiige, <math>bx</math> lineaarliige ja <math>c</math> vabaliige. Arvud <math>a</math>, <math>b</math> ja <math>c</math> on ruutvõrrandi kordajad, sealhulgas <math>a</math> on ruutliikme kordaja ja <math>b</math> lineaarliikme kordaja. Näiteks ~~võrrand~~ <math>3x^2~~+2x~~ -7 2x + 1 = 0</math> on ~~normaalkujuline~~ruutvõrrand, ~~kuid~~kus ~~võrrand~~<math>a = 3</math>~~-4x^2+2x~~, <math>b = -42</math> eija ~~ole~~<math>c = 1</math>. Taandatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille ruutliikme kordaja on <math>1</math>. Taandatud ruutvõrrandi kuju on ~~== Täielik ruutvõrrand ==~~ : <math>x^2 + px + q = 0</math>. ~~Kui normaalkujulises ruutvõrrandis on kõik kolm liiget olemas (ükski kordaja ei ole 0), siis on tegemist täieliku ruutvõrrandiga.~~ Iga ruutvõrrandi saab teisendada samaväärseks taandatud ruutvõrrandiks, jagades võrrandi pooled läbi ruutliikme kordajaga. Et ruutliikme kordaja erineb nullist, siis on see alati võimalik. Ruutvõrrandit, mille ruutliikme kordaja ei ole <math>1</math>, nimetatakse taandamata ruutvõrrandiks. ~~=== Mittetäielik ruutvõrrand ===~~ Kui ruutvõrrandis puudub lineaarliige või vabaliige või need mõlemad, siis see võrrand on mittetäielik võrrand. Näiteks võrrandid <math>2x^2-7x=0</math>, <math>3,8x^2-1,3=0</math> ja <math>10x^2=0</math> on mittetäielikud ruutvõrrandid. Näiteks <math>x^2 - 3x - 2 = 0</math> on taandatud ruutvõrrand, seevastu <math>-x^2 + x + 1 = 0</math> on taandamata ruutvõrrand, sest selles on ruutliikme kordaja <math>-1</math>. ~~== Taandatud ruutvõrrand ==~~ Ruutvõrrandit, mille ruutliikme kordaja a=1, nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks. Selline võrrand on näiteks <math>x^2-2x-4=0</math>. Kui võrrand pole taandatud, siis võib teda alati selliseks teisendada. Selleks tuleb võrrandi mõlemaid pooli jagada ruutliikme kordajaga. Näiteks jagades võrrandi <math>5x^2+10x-3=0</math> mõlemaid pooli 5-ga, saame taandatud ruutvõrrandi <math>x^2+2x-0,6=0</math>. Täielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille kõik kordajad on nullist erinevad. Mittetäielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille mõni kordaja on null. Mittetäielikus ruutvõrrandis võib null olla kas lineaarliikme kordaja, vabaliikme kordaja või mõlemad. Vastavalt sellele on mittetäielikul ruutvõrrandil kolm võimalikku kuju: <math>ax^2 + c = 0</math>, <math>ax^2 + bx = 0</math> või <math>ax^2 = 0</math>. ~~Taandatud ruutvõrrandi üldkuju on~~ ~~<math>x^2+px+q=0,\,\!</math>~~ ~~kus ''p'' ja ''q'' on konstandid.~~ Ruutvõrrandi lahend on tundmatu <math>x</math> iga selline väärtus, millega tundmatut väärtustades võrrand kehtib. Näiteks ruutvõrrandi <math>x^2-x-6=0</math> lahend on <math>x = 3</math>, sest <math>3^2 - 3 - 6 = 0</math>. Samuti on selle ruutvõrrandi lahend <math>x = -2</math>, sest <math>(-2)^2 - (-2) - 6 = 0</math>. ~~Taandatud ruutvõrrandi lahendid on~~ ~~<math>x_{1,2}= - \frac {p}{2} \pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2 -q}.</math>~~ Ruutvõrrand on teist järku [[algebraline võrrand]], mis tähendab, et võrrandi vasak pool on [[polünoom]], mille aste on <math>2</math>. Seda polünoomi nimetatakse ka ruutpolünoomiks ehk ruutkolmliikmeks. ~~[[Viète'i teoreem]]i järgi peavad lahendid rahuldama samasusi <math>x_{1} + x_{2} = -p \,</math> ja <math>x_{1} \cdot x_{2} = q.</math>~~ == ~~Diskriminant~~Lahendivalem == ~~{{vaata\| diskriminant}}~~ === Üldkujuline ruutvõrrand === ~~Ruutvõrrandi [[diskriminant]] on suurus~~ Üldkujulise ruutvõrrandi <math>ax^2 + bx + c = 0</math> lahendid saab leida valemist ~~:<math> D = b^2-4ac. \, </math>~~ : <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>. See valem annab kaks lahendit <math>x_1</math> ja <math>x_2</math>, millest ühe arvutamisel valitakse valemi lugejas märk <math>+</math>, teise arvutamisel aga <math>-</math>. Näiteks ruutvõrrandi <math>2x^2 + 5x - 3 = 0</math> lahendid on ~~[[Reaalarv]]uliste kordajatega ruutvõrrandi jaoks kehtib:~~ : <math>x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2} = \frac{-5 \pm 7}{4}</math> Kui D > 0, siis on ruutvõrrandil kaks reaalarvulist lahendit. ehk <math>x_1 = \frac12</math> ja <math>x_2 = -3</math>. * Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks ühesugust reaalarvulist lahendit. * Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulisi lahendeid ei leidu. Sel juhul on ruutvõrrandil kaks [[kompleksarv]]ulist lahendit, mis on kusjuures teineteise [[kaaskompleksarv]]ud. == Lahendivalemi ~~tuletamine~~tuletamiseks lähtume ==võrdusest : <math>ax^2 + bx + c = 0</math>. ~~Kõigepealt viime ruutvõrrandi~~ Viime <math>c</math> paremale poole: : <math>ax^2 + bx = -c</math>. Korrutame pooli suurusega <math>4a</math>: : <math>4a^2x^2 + 4abx = -4ac</math>. Liidame mõlemale poolele <math>b^2</math>: : <math>4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac</math>. Vasaku poole saame nüüd kirjutada täisruuduna: : <math>(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac</math>. Järelikult : <math>2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac}</math>, millest avaldame otsitava <math>x</math>: : <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>. === Taandatud ruutvõrrand === ~~:<math>ax^2+bx+c=0 \,\!</math>~~ Taandatud ruutvõrrandi <math>x^2 + px + q = 0</math> lahendid saab leida valemist : <math>x_{1,2} = -\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2 - q}</math>. Näiteks võrrandi <math>x^2 + 2x - 8 = 0</math> lahendid on : <math>x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1^2 - (-8)} = -1 \pm 3</math>, millest <math>x_1 = 2</math> ja <math>x_2 = -4</math>. Taandatud ruutvõrrandi lahendivalem järeldub vahetult üldkujulise ruutvõrrandi lahendivalemist, kui seal panna <math>a</math>, <math>b</math> ja <math>c</math> asemele vastavalt taandatud ruutvõrrandi kordajad <math>1</math>, <math>p</math> ja <math>q</math> ning viia nimetaja <math>2</math> juuremärgi alla. ~~taandatud kujule. Selleks jagame viimase läbi kordajaga ''a'':~~ == Diskriminant == ~~:<math>x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0.\,</math>~~ [[File:AndragradsEkva.png\|pisi\|Ruutfunktsiooni graafiku lõikumine <math>x</math>-teljega sõltuvalt diskriminandi märgist.]] ~~Seda võib alati teha, sest eelduste kohaselt ''a'' ≠ 0.~~ Ruutvõrrandi <math>ax^2 + bx + c = 0</math> lahendivalemis ruutjuure märgi all olevat avaldist : <math>D = b^2 - 4ac</math>. nimetatakse selle ruutvõrrandi diskriminandiks. Reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi erinevate reaalarvuliste lahendite arv sõltub diskriminandi märgist. ~~Lahenduse edasine idee tugineb summa ruudu valemile <math>a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2</math>. Viimase kasutamiseks viime võrrandi vabaliikme esiteks teispoole võrdusmärki~~ * Kui <math>D > 0</math>, siis on võrrandil kaks erinevat reaalarvulist lahendit <math>x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}</math> ja <math>x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}</math>. * Kui <math>D = 0</math>, siis on võrrandil kaks kokkulangevat reaalarvulist lahendit <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math>. * Kui <math>D < 0</math>, siis võrrandil reaalarvulisi lahendeid ei ole. Diskriminandi märgi järgi saab kindlaks teha reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi reaalarvuliste lahendite arvu ilma võrrandit lahendamata. Näiteks võrrandil <math>2x^2-4x+3=0</math> puuduvad reaalarvulised lahendid, sest <math>D = (-4)^2 - 4\cdot2\cdot3=-8<0</math>. Kui diskriminant on positiivne, siis lõikab ruutfunktsiooni <math>y = ax^2 + bx + c</math> graafik <math>x</math>-telge kahes erinevas punktis, nulliga võrduva diskriminandi puhul puutub <math>x</math>-telge ühes punktis ning negatiivse diskriminandi puhul graafikul lõikepunkte <math>x</math>-teljega pole. ~~:<math>x^2 + \frac{b}{a} x = -\frac{c}{a} </math>~~ == Viète'i valemid == ~~ja liidame seejärel võrrandi mõlemale poolele sellise konstandi, et võrrandi vasakule poolele ilmuks täisruut:~~ === Üldkujuline ruutvõrrand === Ruutvõrrandi <math>ax^2 + bx + c = 0</math> lahendid <math>x_1</math> ja <math>x_2</math> rahuldavad võrdusi ~~:<math>x^2+\frac{b}{a}x+\left( \frac{1}{2}\frac{b}{a} \right)^2 =-\frac{c}{a}+\left( \frac{1}{2}\frac{b}{a} \right)^2,\!</math>~~ : <math>x_1 + x_2 = -\frac ba</math> : <math>x_1 x_2 = \frac ca</math> ~~mis annab~~ === Taandatud ruutvõrrand === ~~:<math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2= -\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2-4ac}{4a^2}.\,\!</math>~~ Taandatud ruutvõrrandi <math>x^2 + px + q = 0</math> lahendid <math>x_1</math> ja <math>x_2</math> rahuldavad võrdusi : <math>x_1 + x_2 = -p</math> ~~Võrrandi mõlemast poolest [[ruutjuur]]e võtmine annab~~ : <math>x_1 x_2 = q</math> ~~:<math>x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.</math>~~ ~~Lahutame veel võrrandi mõlemast poolest ''b/2a'', mis annabki otsitud tulemuse:~~ ~~:<math>x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.</math>~~ ==Vaata ka== 78. rida ⟶ 92. rida: * [[Ruutpolünoom]] * [[Ruutvorm]] ~~==Märkused==~~ ~~{{viited}}~~ [[Kategooria:Elementaaralgebra]]

Ruutvõrrand: erinevus redaktsioonide vahel