Funktsioon (matemaatika): erinevus redaktsioonide vahel

Eemaldatud sisu Lisatud sisu
Dexbot (arutelu | kaastöö)
P Eemaldatud mall Link FA; keelelinkide äramärkimine nüüd Vikiandmetes
P nimetakse > nimetatakse
8. rida:
 
==Definitsioon==
Funktsioon on "masin", mis teisendab mis tahes korrektse [[sisend]]i üheksainsaks [[väljund]]iks. Näiteks ''f''(''x'')=''x''<sup>–1</sup> teisendab iga [[arv]]u, mis ei [[võrdus|võrdu]] [[null]]iga, selle arvu [[pöördarv]]uks. Selles näites ei ole arv 0 korrektne sisend.
 
===Formaalne definitsioon seose kaudu===
Formaalselt võib funktsiooni ''f'' sisendväärtuste [[hulk|hulgalt]] ''X'' võimalike väljundväärtuste hulka ''Y'' (kirjutatakse ''f'': ''X'' &rarr; ''Y'') defineerida [[binaarne seos|binaarse seosena]] ''X'' ja ''Y'' vahel, mille puhul on täidetud järgmised tingimused:
#''f'' on ''täielik'': iga ''x'' puhul hulgast ''X'' eksisteerib ''y'' hulgast ''Y'', nii et ''x f y'' (''x'' on ''y''-ga seoses ''f''), see tähendab iga sisendväärtuse puhul on vähemalt üks väljundväärtus hulgast ''Y''.
#''f'' on ''funktsionaalne'': kui ''x f y'' ja ''x f z'', siis ''y'' = ''z''. see tähendab iga sisendväärtuse puhul on ainult üks võimalik väljundväärtus.
 
Seda definitsiooni saab lühemalt väljendada nii: funktsioon hulgast ''X'' hulka ''Y'' on [[otsekorrutis]]e ''X'' &times; ''Y'' [[alamhulk]] ''f'', mille korral iga elemendi ''x'' puhul hulgast ''X'' on hulgas ''Y'' niisugune üheselt määratud element ''y'', et järjestatud paar (''x'', ''y'') on hulga ''f'' element.
27. rida:
 
==Ajalugu==
Matemaatikas võttis termini "funktsioon" kasutusele [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] (aastal [[1694]]), et rääkida [[kõver]]aga seotud [[suurus]]test, näiteks kõvera [[tõus (matemaatika)|tõus]]ust. Tänapäeva matemaatilises kõnepruugis öeldakse, et funktsioonid, mida Leibniz vaatles, on [[diferentseeruv funktsioon|diferentseeruvad]]. Mittematemaatikud puutuvad kõige sagedamini kokku just selliste funktsioonidega. Sääraste funktsioonide puhul saab rääkida [[piirväärtus]]test ja [[tuletis (matemaatika)|tuletis]]test. Mõlemad mõõdavad sisendväärtuste muutusega kaasnevat väljundväärtuste muutust. Need konstruktsioonid on aluseks [[matemaatiline analüüs|matemaatilisele analüüsile]].
 
Sõna "funktsioon" kasutas hiljem ([[18. sajand]]i keskel) [[Leonhard Euler]] argumentidega [[avaldis]]te ja valemite kohta, näiteks ''f''(''x'') = sin(''x'') + ''x''<sup>3</sup>.
 
[[19. sajand]]il hakkasid matemaatikud kõiki matemaatikaharusid formaliseerima. [[Karl Weierstrass]] pooldas matemaatilise analüüsi rajamist [[aritmeetika]]le, mitte [[geomeetria]]le, mistõttu Euleri definitsiooni eelistati Leibnizi omale (vaata [[matemaatilise analüüsi aritmetiseerumine]]).
35. rida:
Funktsiooni mõiste laiendamine võimaldas matemaatikutel uurida sääraseid veidraid matemaatilisi objekte nagu [[pidev funktsioon|pidevaid funktsioone]], mis ei ole kuskil diferentseeruvad. Algul peeti neid lihtsalt teoreetilisteks kurioosumiteks ning veel 19. ja [[20. sajand]]i vahetusel nimetati neid monstrumiteks. Hiljem leiti, et sellised funktsioonid on kasulikud [[Browni liikumine|Browni liikumise]] taoliste [[füüsika]]liste nähtuste [[modelleerimine|modelleerimisel]].
 
[[19. sajand]]i lõpupoole hakkasid matemaatikud katsuma [[formaliseerimine|formaliseerida]] kogu matemaatikat [[hulgateooria]] abil ning püüdsid iga matemaatilist objekti defineerida [[hulk|hulgana]]. Tänapäeval kasutatava formaalse definitsiooni andis funktsioonile [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]].
 
Dirichlet' definitsiooni järgi on funktsioon [[seos (matemaatika)|seos]]e erijuht. Enamiku praktiliste rakenduste puhul ei mängi erinevused Euleri ja Dirichlet' definitsiooni vahel peaaegu mingit rolli.
77. rida:
 
===Pöördfunktsioon===
Pöördfunktsiooni saame, kui vaatleme funktsiooni <math>\,y=f(x)</math> muutujat <math>\,x</math> muutuja <math>\,y</math> funktsioonina <math>\,x=\Gamma (y)=f^-1(x)</math>. Pöördfunktsiooni <math>\,x=\Gamma(y)</math> graafiku saame funktsiooni <math>\,y=f(x)</math> graafiku peegeldamise teel sirge <math>\,y=x</math> suhtes. Kõigil funktsioonidel ei leidu pöördfunktsiooni.
 
===Funktsiooni pidevus===
84. rida:
 
===Liitfunktsioon===
Kui kõigepealt rakendada argumendile <var>x</var> funktsiooni <var>f</var>:&nbsp;<var>X</var>&nbsp;&rarr;&nbsp;<var>Y</var> ja seejärel rakendada tulemile funktsiooni <var>g</var>:&nbsp;<var>Y</var>&nbsp;&rarr;&nbsp;<var>Z</var>, saame [[liitfunktsioon]]i, mida nimetame funktsioonide ''f'' ja ''g'' [[funktsioonide kompositsioon|kompositsiooniks]] ja märgitakse nii: <var>g</var>&nbsp;<small>o</small>&nbsp;<var>f</var>: <var>X</var>&nbsp;&rarr;&nbsp;<var>Z</var>. See funktsioon on defineeritud järgmiselt: (<var>g</var>&nbsp;<small>o</small>&nbsp;<var>f</var>)(<var>x</var>)&nbsp;:= <var>g</var>(<var>f</var>(<var>x</var>)) mis tahes <var>x</var> korral hulgast <var>X</var>.
 
Oletame näiteks, et lennuki kõrgus ajahetkel <var>t</var> on antud funktsiooniga <var>h</var>(<var>t</var>) ning et hapniku kontsentratsioon kõrgusel <var>x</var> on antud funktsiooniga <var>c</var>(<var>x</var>).
Siis (<var>c</var>&nbsp;<small>o</small>&nbsp;<var>h</var>)(<var>t</var>) on funktsioon, mis kirjeldab hapniku kontsentratsiooni lennuki ümber ajahetkel <var>t</var>.
 
Kui
<var>Y</var>&sub;<var>X</var>,
siis saab rääkida funktsiooni
<var>f</var> kompositsioonist iseendaga; mõnikord märgitakse seda nii:
<var>f</var><sup>&nbsp;2</sup>. (Sel juhul ei peeta silmas funktsiooni väärtuse korrutist iseendaga nagu näiteks avaldises cos&sup2; ''x''.)
123. rida:
Ülaltoodud funktsiooni puhul on hulga {a, b} algkuju ''f''<sup>&nbsp;&minus;1</sup>({a, b}) = {1}.
 
Selle definitsiooni järgi tuleb välja, et ''f''<sup>&nbsp;&minus;1</sup> on funktsioon, mille määramispiirkond on hulga ''Y'' astmehulk ja mille võimalike väärtuste hulk on hulga ''X'' astmehulk.
 
Nendest definitsioonidest järeldub, et:
133. rida:
*<var>f</var><sup>&nbsp;&minus;1</sup>(<var>f</var>(<var>A</var>))&nbsp;&supe;&nbsp;<var>A</var>.
 
Need seosed kehtivad määramispiirkonna suvaliste alamhulkade ''A'', ''A''<sub>1</sub> ja ''A''<sub>2</sub> ning võimalike väärtuste hulga suvaliste alamhulkade ''B'', ''B''<sub>1</sub> ja ''B''<sub>2</sub> korral.
 
Kujutiste ja algkujude seosed [[ühisosa]]de ja [[ühend]]itega kehtivad mitte ainult alamhulkade paaride, vaid alamhulkade mis tahes [[kogum]]ite korral.
139. rida:
===Injektiivsed, sürjektiivsed ja bijektiivsed funktsioonid===
Järgmised mõisted on väga kasulikud:
*[[Injektiivne funktsioon|Injektiivsed]] (üksühesed) funktsioonid seavad eri argumentidele vastavusse eri väärtused; teiste sõnadega, kui ''x'' ja ''y'' on funktsiooni ''f'' määramispiirkonna elemendid, siis ''f''(''x'') = ''f''(''y'') ainult juhul, kui ''x'' = ''y''. Ülaltoodud funktsioon on injektiivne.
*[[Sürjektiivne funktsioon|Sürjektiivsetel]] funktsioonidel on kõik võimalikud väärtused tegelikud; teiste sõnadega, kui ''y'' on funktsiooni ''f'' võimalik väärtus, siis leidub vähemalt üks ''x'', mille korral ''f''(''x'') = ''y''. Ülaltoodud funktsioon ei ole sürjektiivne.
*[[Bijektiivne funktsioon|Bijektiivsed funktsioonid]] on korraga injektiivsed ja sürjektiivsed; sageli kasutatakse neid selleks, et hulki ''X'' ja ''Y'' kuidagi "samastada".
148. rida:
Matemaatika seisukohast ei ole ühe ja mitme muutuja funktsioonidel põhimõttelist erinevust: näiteks kolme [[reaalarv]]ulise muutuja funktsiooni saab vaadelda reaalarvude [[järjestatud kolmik]]ute funktsioonina. Järgmises lõigus öeldakse sedasama formaalsemas keeles.
 
Kui funktsiooni määramispiirkond on <var>n</var> hulga [[otsekorrutis]]e [[alamhulk]], siis nimetatakse seda funktsiooni '''<var>n</var>-aarseks funktsiooniks''' ehk '''<var>n</var> muutuja funktsiooniks'''.
Näiteks seose ''dist'' määramispiirkond on <b>R</b>&nbsp;&times;&nbsp;<b>R</b> ning seetõttu ta kujutab endast [[binaarne funktsioon|binaarset funktsiooni]] (2-aarset funktsiooni ehk [[kahe muutuja funktsioon]]i).
Sellistel juhtudel ei kirjutata tavaliselt mitte ''dist''((<var>x</var>,<var>y</var>)), vaid lihtsalt ''dist''(<var>x</var>,<var>y</var>).
155. rida:
 
===Mitmeväärtuseline funktsioon ja osaline funktsioon===
Seos hulkade ''X'' ja ''Y'' vahel, mille puhul on täidetud tingimus (1), on '''[[mitmeväärtuseline funktsioon]]'''. Iga funktsioon on mitmeväärtuseline funktsioon, kuid iga mitmeväärtuseline funktsioon ei ole funktsioon.
 
Seos hulkade ''X'' ja ''Y'' vahel, mille puhul on täidetud tingimus (2), on '''[[osaline funktsioon]]'''. Iga funktsioon on osaline funktsioon, kuid iga osaline funktsioon ei ole funktsioon.
169. rida:
|-
| [[Pilt:Injection.svg|150px]]
| See seos on nii täielik kui ka funktsionaalne, ja seetõttu on see funktsioon hulgast ''X'' hulka ''Y''. Funktsiooni saab [[ilmutatud funktsioon|ilmutatud kujul]] esitada kujul ''f'' = {(1, a), (2, d), (3, c)} või kujul
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & \mbox{kui }x=1 \\ d, & \mbox{kui }x=2 \\ c, & \mbox{kui }x=3. \end{matrix}\right.</math>
|}
 
==Intuitiivne sissejuhatus==
Intuitiivselt võib funktsiooni all mõista "eeskirja", mis seab igale antud [[sisend]]ile vastavusse üheselt määratud [[väljund]]i. Toome mõned näited:
*Igal inimesel on lemmikvärv järgmise 6 värvi hulgast: punane, oranž, kollane, roheline, sinine, lilla. Lemmikvärv on inimese funktsioon. Näiteks Jaani lemmikvärv on punane ja Tiina lemmikvärv on lilla. Sisendiks on siin inimene ja väljundiks on üks 6 värvist.
*Lapsed müüvad suvel limonaadi. Müüdud limonaadi hulk pudelites mingil päeval on selle päeva maksimaalse õhutemperatuuri funktsioon. Näiteks kui temperatuur on 22 kraadi, siis nad müüvad 10 pudelit limonaadi, ja kui temperatuur on 26 kraadi, siis nad müüvad 25 pudelit limonaadi.
181. rida:
"Eeskirja", millega funktsioon on määratud, saab väljendada [[valem]]i ([[funktsiooni üldavaldis]]e abil, seose abil või lihtsalt tabeli abil, mis loetleb sisendid ja neile vastavad väljundid.
 
Funktsiooni kõige iseloomulikum omadus on see, et ta on [[determinism|deterministlik]]: samale sisendile vastab alati sama väljund. Seetõttu võib funktsiooni kujutleda "[[masin]]ana" või "[[must kast|musta kastina]]", mis muundab [[lubatavus|lubatava]] sisendi üheselt määratud väljundiks. Sisendit nimetaksenimetatakse sageli funktsiooni [[argument (matemaatika)|argumendiks]] ning väljundit funktsiooni [[väärtus (matemaatika)|väärtus]]eks.
 
Kõige tavalisemal juhul on nii argument kui ka funktsiooni väärtused [[arv]]ud, funktsionaalset seost ([[funktsionaalne sõltuvus|funktsionaalset sõltuvust]]) väljendatakse valemiga ning funktsiooni väärtuse saamiseks [[asendamine|asendatakse]] argument otseselt valemisse. Vaatame näiteks funktsiooni
190. rida:
Funktsiooni mõistet saab üldistada nii, et funktsioon võib sõltuda mitmest argumendist. Näiteks
:<math>g(x,y) = xy</math>
on funktsioon, mis võtab kaks arvu ''x'' ja ''y'' ning seab neile vastavusse nende korrutise ''xy''. Võib paista, nagu sel juhul poleks tegemist funktsiooniga ülalkirjeldatud mõttes, sest see "eeskiri" sõltub kahest sisendist. Ent kui me võtame need kaks sisendit kokku üheksainsaks [[järjestatud paar]]iks (''x'', ''y''), siis me võime tõlgendada asja nii, et ''g'' on funktsioon, mille argument on järjestatud paar (''x'', ''y'') ning mille väärtus on ''xy''.
 
Teaduses on sageli tegemist funktsioonidega, mis ei ole esitatud valemitega. Võtame näiteks temperatuuri jaotuse maapinnal eri aegadel: see on funktsioon, mille argumentideks on koht ja aeg ning mis annab väljundiks temperatuuri antud kohas antud hetkel.
 
Nägime, et intuitiivne funktsioonimõiste ei piirdu arvutustega, mis kasutavad üksikuid arve, ega üldse arvutustega. Matemaatiline funktsioonimõiste on veel üldisem ega piirdu olukordadega, kus on tegemist arvudega. Funktsioon seob oma [[määramispiirkond|määramispiirkonna]] (sisendite [[hulk|hulga]]) oma võimalike väljundite hulgaga nõnda, et igale määramispiirkonna elemendile seatakse vastavusse täpselt üks element võimalike väljundite hulgast. Allpool näeme, kuidas funktsioone abstraktselt defineeritakse [[seos (matemaatika)|seos]]te kaudu. Nii üldiselt mõistetud funktsioon on fundamentaalne mõiste peaaegu kõikides matemaatika harudes.
 
==Näiteid==
204. rida:
* Seos ''dist'' [[tasand]]i <b>R</b><sup>2</sup> [[Punkt (matemaatika)|punkt]]ide ja nende [[kaugus]]te vahel [[koordinaatide algpunkt]]ist (0,0).
 
Kõige tavalisemate matemaatiliste funktsioonide seas on [[liitmine]], [[jagamine]], [[astendamine]], [[logaritm]]id, [[korrutamine]], [[polünoom]]id, [[juur (arutmeetika)|juur]]ed, [[lahutamine]] ja [[trigonomeetrilised funktsioonid]]. Mitteelementaarfunktsioonid ([[erifunktsioonid]]) on näiteks [[Besseli funktsioon]]id ja [[gammafunktsioon]]id.
 
==Vaata ka==