|
=Ühe muutuja funktsioon=
Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:
:<math> f(x) \approx \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}</math>
==Vea hinnang==
'''Taylori valemi''' vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse <math>f(x)</math> vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, '''Lagrange'i veahinnang''', kõlab järgmiselt.
: <math>f(x) = \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(0)}{n!} \, x^{n} + R_n(x)</math>
==Näited==
===Eksponentfunktsioon===
Lihtne näide Taylori valemist on [[eksponentfunktsioon]]i <math>e^x\,</math> lähendamine ''x'' = 0 juures:
: <math> \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.</math>
===Trigonomeetrilised funktsioonid===
:<math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ iga } x\!\text{-i korral.}</math>
::Kus ''B<sub>s</sub>'' on [[Bernoulli numbrid]].
== Mitme muutuja funktsiooni Taylori rida ==
===Koosinus kohal x=1 ===
[[Pilt:TaylorCos1.png|512px|raam|Koondjoonis: Pildil on näha koosinuse funktsioon hallina. Iga järgneva astme polünoom täpsustab funtsiooni punkti ja selle lähiümbruses paremini. Esimesel juhul lõikab sirge antud punktis funktsiooni, teisel juhul ta puutub seda, ning tõusunurk punktis on sama, ning mida edasi seda suuremat lähiümbruskonda polünoom hakkab kirjeldama.]]
[[Pilt:Out.ogg|raam|Taylori valemi esimesed 26 arendust funktsioonile cos(x) graafikud, kohal x=1]]
Kohal x=1 Taylori valemi 1-8'dat järku polünoomid koosinusele. Nagu alljärgnevalt näha, siis käsitsi Taylori polünoomide leidmine on aeganõudev, ning veatalumatu protsess.
'''Taylori valem''' esitab [[reaalarv|reaal]]- või [[kompleksarv|kompleksarvulise]] [[funktsioon (matemaatika)|funktsioon]]i, mis peab olema [[polünoom]]i astme n+1'i reaal- või kompleksarvuliste [[väli|väljade]] [[ümbrus|ümbruses]] [[differenseeruv]], kahe [[muutuja]] funktsiooni [[binoom]]ide (x - a) ja (y - b) astmete polünoomi ja ühe [[jääkliige|jääkliikme]] summana, kus polünoomi aste on n. ▼<!-- Vaja järele mõelda, kuidas kuvada.
*n=1 = <math>\, \cos(1)-sin(1) (x-1)+O((x-1)^2)</math>
*n=2 = <math>\, \cos (1)-\sin (1) (x-1)-\frac{1}{2} \cos (1) (x-1)^2+O\left((x-1)^3\right)</math>
*n=3 = <math>\, \cos (1)-\sin (1) (x-1)-\frac{1}{2} \cos (1) (x-1)^2+\frac{1}{6} \sin (1) (x-1)^3+O\left((x-1)^4\right)</math>
* [[Maclaurini rida]]
*n=4 = <math>\, \cos (1)-\sin (1) (x-1)-\frac{1}{2} \cos (1) (x-1)^2+\frac{1}{6} \sin (1) (x-1)^3+\frac{1}{24} \cos (1) (x-1)^4+O\left((x-1)^5\right)</math>
* [[Laurent'i rida]]
*n=5 = <math>\, \cos (1)-\sin (1) (x-1)-\frac{1}{2} \cos (1) (x-1)^2+\frac{1}{6} \sin (1) (x-1)^3+\frac{1}{24} \cos (1) (x-1)^4-\frac{1}{120} \sin (1) (x-1)^5+O\left((x-1)^6\right)</math>
* [[Analüütiline funktsioon]]
*n=6 = <math>\, \cos (1)-\sin (1) (x-1)-\frac{1}{2} \cos (1) (x-1)^2+\frac{1}{6} \sin (1) (x-1)^3+\frac{1}{24} \cos (1) (x-1)^4-\frac{1}{120} \sin (1) (x-1)^5-\frac{1}{720} \cos (1) (x-1)^6+O\left((x-1)^7\right)</math>
*n=7 = <math>\, \cos (1)-\sin (1) (x-1)-\frac{1}{2} \cos (1) (x-1)^2+\frac{1}{6} \sin (1) (x-1)^3+\frac{1}{24} \cos (1) (x-1)^4-\frac{1}{120} \sin (1) (x-1)^5-\frac{1}{720} \cos (1) (x-1)^6+\frac{\sin (1) (x-1)^7}{5040}+O\left((x-1)^8\right)</math>
*n=8 = <math>\, \cos (1)-\sin (1) (x-1)-\frac{1}{2} \cos (1) (x-1)^2+\frac{1}{6} \sin (1) (x-1)^3+\frac{1}{24} \cos (1) (x-1)^4-\frac{1}{120} \sin (1) (x-1)^5-\frac{1}{720} \cos (1) (x-1)^6+\frac{\sin (1) (x-1)^7}{5040}+\frac{\cos (1) (x-1)^8}{40320}+O\left((x-1)^9\right)</math>
-->
:Joonised:
<gallery>
Pilt:TaylorCos1c.png|Koosinus lõigul [-3Pi;3Pi]
Pilt:TaylorCos1-0.png|Taylori 0-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
Pilt:TaylorCos1-1.png|Taylori 1-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
Pilt:TaylorCos1-2.png|Taylori 2-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
Pilt:TaylorCos1-3.png|Taylori 3-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
Pilt:TaylorCos1-4.png|Taylori 4-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
Pilt:TaylorCos1-5.png|Taylori 5-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
Pilt:TaylorCos1-6.png|Taylori 6-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
Pilt:TaylorCos1-7.png|Taylori 7-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
Pilt:TaylorCos1-8.png|Taylori 8-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
</gallery>
==Välislingid==
===Koosinus kohal x=0 ===
[[Pilt:TaylorCos0.png|512px|raam|Koondjoonis: Taylori 8 esimest järku polünoomile funktsioonist cos(x), punktis P(0;Cos[0]).]]
Juhul, kui x=0 on tuntud ka, kui [[Colin Maclaurin|Maclaurin]]i valem. Punktis P(0;cos(0)) on Taylori valemi esimesed 8-järku polünoomid funktsioonile:
*n=1 = <math>\, 1+O\left(x^2\right)</math>
*n=2 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+O\left(x^3\right)</math>
*n=3 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+O\left(x^4\right)</math>
*n=4 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O\left(x^5\right)</math>
*n=5 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O\left(x^6\right)</math>
*n=6 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O\left(x^7\right)</math>
*n=7 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O\left(x^8\right)</math>
*n=8 = <math>\, 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\frac{x^8}{40320}+O\left(x^9\right)</math>
==Video näited==
{{Kasutaja:Margusmartsepp/cc-video
| r =
}}
}}
==OCW Scholar==
===Loeng===
{{Kasutaja:Margusmartsepp/cc-video
| r =
}}
}}
===Harjutus===
{{Kasutaja:Margusmartsepp/cc-video
| r =
}}
}}
=Mitme muutuja funktsioon=
▲'''Taylori valem''' esitab [[reaalarv|reaal]]- või [[kompleksarv|kompleksarvulise]] [[funktsioon (matemaatika)|funktsioon]]i, mis peab olema [[polünoom]]i astme n+1'i reaal- või kompleksarvuliste [[väli|väljade]] [[ümbrus|ümbruses]] [[differenseeruv]], kahe [[muutuja]] funktsiooni [[binoom]]ide (x - a) ja (y - b) astmete polünoomi ja ühe [[jääkliige|jääkliikme]] summana, kus polünoomi aste on n.
==Näited==
==Eksponentfunktsioon astmel -(x^2+y^2)==
[[Pilt:Ep-(2p2plusyp2).ogg|raam|Taylori valemi esimesed 20 arendust funktsioonile E^-(x^2+y^2) graafikud, kohal x=0; y=0]]
* [[Tuletis]]
* [[Polünoom]]
[[Kategooria:Matemaatiline analüüs]]
| 