Russelli paradoks: erinevus redaktsioonide vahel

lisa
(lisa)
'''Russelli paradoks''' [r'asseli paradoks] on [[Bertrand Russell]]i poolt [[1901]]. aastal avastatud [[paradoks]], mis näitab, et [[Georg Cantor|Cantor]]i ja [[Gottlob Frege|Frege]] [[naiivne hulgateooria]] on [[vastuolulisus|vastuoluline]].
 
Vaatleme [[hulk]]a ''M'', mille defineerimadefineerime kõikide niisuguste hulkade hulkahulgana, mis ei ole iseenda [[element (matemaatika)|elemendid]]. Teiste sõnadega: hulk ''A'' on hulga ''M'' element [[siis ja ainult siis, kui]] ''A'' ei ole ''A'' element.
 
Cantori süsteemis on ''M'' [[korrektselt defineeritud hulk]]. Kas ''M'' on iseenda element? Kui on, siis ta [[definitsioon]]i kohaselt ei ole hulga ''M'' element. Teiselt poolt, kui oletada, et ''M'' ei sisaldaei iseennastole iseenda element, siis ta peab jällegi hulga ''M'' definitsiooni kohaselt olema hulga ''M'' element. Sellepärast viivad väited "''M'' on hulga ''M'' element" ja "''M'' ei ole hulga ''M'' element" mõlemad vastuloni[[vastuolu]]ni.
 
Frege süsteemis vastab ''M'' mõistele ''ei rakendu iseendale''. Ka Frege süsteem viib vastuoluni: nimelt selgub, et on olemas selle mõistega määratletud [[klass (matemaatika)|klass]], mis rakendub iseendale [[parajasti siis, kui]] ta ei rakendu iseendale.
 
==Ajalugu==
Millal täpselt Russell selle paradoksi avastas, see pole teada. Nähtavasti oli see mais või juunis [[1901]], tõenäoliselt seoses tööga [[Cantori teoreem]]i kallal, mille kohaselt [[entiteet]]ide arv mingis piirkonnas[[klass (matemaatika)|klass]]is on väiksem kui nende entiteetide [[alamklasalamklass]]ide arv. Russelli raamatu "''[[Principles of Mathematics]]''" (mitte segi ajada hilisema teosega "''[[Principia Mathematica]]''") X peatükis paragrahvis 100, kusnimetab ta nimetab seda Vastuoluks (''The Contradiction''), ning ütleb ta, et ta jõudis selleni analüüsides Cantori [[tõestus]]t, et ei ole olemas kõige surematsuuremat [[kardinaalarv]]u. Ka 1901. aasta artiklis ajakirjas ''[[International Monthly]]'', mille pealkiri on "''Recent work in the philosophy of mathematics''", mainis Russell Cantori tõestust, et ei ole suurimat kardinaalarvu ,ning väitis, et "meister" on süüditeinud peenespeene loogikaveas[[loogikaviga|loogikavea]], mida ta arutab hiljem.
 
Kuulus on Russelli kiri Fregele juunisjuunist [[1902]], mikesmilles ta teatassellest paradoksist teatas. Frege töötas parajasti oma "[[Aritmeetika põhiseadused|Aritmeetika põhiseaduste]]" teise köite kallal. Ta oli vastusenavastuseks paradoksile sunnitud koostamakirjutama lisanaraamatule lisa, kuid hiljem osutus, et tema vastuargumendud ei olnud piisavad. TavaliseltÜldlevinud srvatakse,arvamuse et selle tagajärjelkohaselt loobus Frege selle tagajärjel täielikult oma tööst [[klasside loogika]] kallal.
 
Ka [[Ernst Zermelo]] märkas seda paradoksi, kui ta [[hulgateooria]] oma versiooni välja töötas, ent ta pidas seda liiga ilmseks, mistõttu ta selle kohta midagi ei avaldanud! Zermelo süsteem väldib seda probleemi kuulsa [[eraldamisaksioom]]i abil.
Russelli paradoks on väga lähedane [[valetaja paradold]]ile.
 
Russell ja [[Alfred North Whitehead]] püüdsid üles ehitada hulgateooria kitsendatud variandi, millest nad lootsid, et ta ühtaegu väldib Russelli paradoksi ja võimaldab üles ehitada [[aritmeetika]]. [[Kurt Gödel]] näitas hiljem, et isegi kui see süsteem on [[mittevastuolulisus|mittevastuoluline]], ei õnnestu selle abil taandada ''kogu'' aritmeetikat loogikale ([[Gödeli mittetäielikkuse teoreem]]).
 
==Russelli paradoksi üldarusaadavad variandid==
Mõned selle paradoksi variandid on tavelule lähemal ning mitteloogikutele arusaadavamad.
 
Näiteks [[habemeajaja paradoks]]is on juttu habemeajajast, kes hajab habet igaühel, kes iseendal habet ei aja, ja mitte kellelgi teisel. Kui hakata mõtlema, kas ta siis ka iseendal habet ajab, võib päris nõutuks jääda...
 
Samuti tuleneb Russelli paradoksist, et kui Vikipeedias oleks '''iseennast mittesisaldavate loendite loend''', siis peab see olema kas mittetäielik (peab iseenda välja jätma) või ebaõige (kui ta iseenda sisse võtab).
 
==Hulgateooria püüded Russelli paradoksi vältida==
Et seda paradoksi ja teisi sarnaseid raskusi vältida, sõnastati hulgateooria ümber [[aksiomaatiline süsteem|aksiomaatilise süsteemina]] ning saadi [[aksiomaatiline hulgateooria]]. Russell ise töötas teoses ''[[Principia Mathematica]]'' koos [[Alfred North Whitehead]]iga välja [[tüüpide teooria]]. Kuigi see süsteem väldib teadaolevaid [[paradoks]]e ning selle abil saab kogu matemaatika üles ehitada, ei ole ta laialt kasutusel. Kõige tavalisem aksiomaatiline hulgateooria on tänapäeval [[Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika]], milles [[tüüp (matemaatika)|tüübi]] mõistet ei kasutata ja kitsendatakse [[hulk]]ade [[universum (matemaatika)|universum]] nendele hulkadele, mida saab konstrueerida antud hulkadest treatud aksioomide abil. Russelli paradoksi formuleeringus vaadeldud hulka niiviisi konstrueerida ei saa, mistõttu ta ei ole selle teooria järgi hulk, vaid [[pärisklass]].
 
==Rakendused ja lähedased teemad==
Peale hulgateooria reformi on habemeajaja paradoksil olnud veel kaks väga olulist rakendust: [[Kurt Gödel]] tõestas oma [[Gödeli mittetäielikkuse teoreem|mittetäielikkuse teoreem]]i selle paradoksi formaliseerimise abil ja [[Alan Turing]] tõestas sama võtet kasutades, et [[peatumisprobleem]]i vastus on negatiivne ning [[predikaatloogika]] ei ole [[lahenduvus|lahenduv]].
 
Russelli paradoks on väga lähedane [[valetaja paradoldparadoks]]ile.
 
{{täienda}}