Vikipeedia

Friedmanni võrrandid: erinevus redaktsioonide vahel

Sirvi ajalugu interaktiivselt
← Vanem muudatusUuem muudatus →
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
VisuaalneVikitekst
→‎Võrrandid: Unicodifying using AWB
Andrjus (arutelu | kaastöö)
7 muudatust
toim
4. rida:
==Võrrandid==
 
Friedmanni võrrandiksvõrrand nimetatakseon
:<math>
H^2 = \frac{8 \pi G }{3}\rho +- \frac{k c^2}{Ra^2}
</math>.
 
ning Friedmanni kiirenduse võrrand on
:<math>
\dot{H} + H^2 = \left( \frac{\ddot{a}} {a} \right)^2 = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right)
</math>.
 
Suurus <math>G</math> on [[Isaac Newton|Newtoni]] [[gravitatsioonikonstant]], <math>\rho c^2</math> on energiatihedus, <math>c</math> on [[valguse kiirus]], <math>Ra</math> on pikkuse dimensiooniga [[mastaabikordaja]] ja <math>p</math> on rõhk.
<math>H</math> on [[Hubble'i parameeter]] ning<math>H</math> on defineeritud kui▼
 
▲<math>H</math> on [[Hubble'i parameeter]] ning on defineeritud kui
 
:<math>H \equiv \frac{\dot{R}}{R} = \frac{\dot{a}}{a} </math>.
 
KusMastaabikordaja <math>a</math> on dimensioonitupikkuse mastaabikordajadimensiooniga suurus, mis saadaksemäärab kahe kaasaliikuva punkti suhtelise kauguse. Kasutusel on ka pikkuse dimensiooniga mastaabikordaja, skaleerimiselmis väärtusegasaadakse valituddimensioonitu ajahetkel:mastaabikordaja <math>akorrutamisel =mingi Rpikkusega, /näiteks R_0</math>[[ruumikõveruse raadius]]ega.
<ref name="Nemiroff"/>
 
27. rida ⟶ 26. rida:
* Dimensoonitu mastaabikordaja korral omab kõveruse kordaja pikkuse pöörddimensiooni ning lubatud väärtuste hulk on pidev. Sfäärilisele ruumile vastab ''k > 0'', eukleidilisele ''k = 0'' ning hüperboolsele ''k < 0''.
 
Võrrandid pole sõltumatud. Esimese võrrandi saab teisest, kui arvestada adiabaatilist paisumist. Lisaks saab teise võrrandi avaldada kujulpidevusevõrrandi:<ref name="Coles"/>
:<math>
\dot{\rho} = -3 H \left(\rho + \frac{p}{c^2}\right).
45. rida ⟶ 44. rida:
:<math>ds^2 = (c dt)^2 - a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - K r^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2) \right]</math>.
 
Võetakse [[ideaalne vedelik|ideaalse vedeliku]] [[energia-impulssimpulsi tensor]]
 
:<math>T_{\mu \nu} = (p + \rho c^2) U_\mu U_\nu - p g_{\mu \nu}</math>
 
ning sisestatakse see koos meetrikaga [[Einsteini võrrandid|Einsteini väljavõrranditesse]].
Esimene võrrand tuleb 00 komponendist ning teine ruumilise osa [[Jälg (lineaaralgebra)|jäljest]].
<ref name="Coles"/>
56. rida ⟶ 55. rida:
Tihedusparameeter on defineeritud kui tegeliku ja kriitilise tiheduse suhe <math>\Omega \equiv \rho / \rho_c</math>. Kriitiline tihedus on defineeritud kui <math>\rho_c \equiv 3 H^2 / (8 \pi G)</math> ning on selline tihedus, mille korral on kindla <math>H</math> väärtuse korral aegruumi ruumiline osa tasane. Kuna Hubble'i parameeter sõltub üldjuhul ajast, siis peab ka kriitiline tihedus ajast sõltuma. <math>\Omega_0</math> tähistab tihedusparameetri hetkelist väärtust.<ref name="Nemiroff"/>
 
Tihedusparameeter võib üldiselt koosneda mitmest erinevast komponendist:
<math>\Omega = \sum_{n=-\infin}^{\infin} \Omega_n a^{-n}</math>.
VõimeKui vaadata aega,ajahetke millalkui <math>a = 1</math>, siis ningsaab <math>\Omega = \sum_{n=-\infin}^{\infin} \Omega_n</math>.<ref name="Nemiroff"/>
 
Friedmanni esimesest võrrandist saab leida seose tihedusparameetri ja ruumikõveruse vahel:
<math>\Omega - 1 = \frac{k}{a^2 H^2}</math>.
Sellest järeldub, et ruum on avatud, kui <math>0 < \Omega < 1</math>, tasane, kui <math>\Omega = 1</math> ning kinnine, kui <math>\Omega > 1</math>.
66. rida ⟶ 65. rida:
<math>\Omega_\Lambda \equiv \frac{\Lambda}{3 H^2}</math> on kosmoloogilisele konstandile vastav tihedusparameeter.
 
== Barotroopne olekuvõrrand ==
== Ühekomponendilise ideaalse vedeliku lahendid ==▼
Kuna sõltumatuid Friedmanni võrrandeid on kaks ning otsitavaid parameetreid on kolm (<math>a</math>, <math>\rho</math> ja <math>p</math>), siis selleks, et võrrandid lahendata, tuleb teha täiendavaid eelduseid.
Võib eeldada, et universum sisaldab homogeenset ja isotroopset vedelikku. Eeldus on põhjendatud näiteks olukordades, kus osakese [[keskmine teepikkus]] on palju suurem interaktsioonide mõjuraadiusest. Vaadates ainult ühte komponenti ning eeldades, et vedelik allub olekuvõrrandile <math>p = w \rho c^2</math>, saab leida Friedmanni võrranditele lahendid<ref name="Coles"/>:
 
Eeldusel, et universum sisaldab homogeenset ja isotroopset vedelikku, saab leida rõhku ja energiatihedust siduva barotroopse olekuvõrrandi
=== Tasane ruum ===
 
<math>p = w \rho c^2</math>.
 
Suurust <math>w</math> nimetatakse barotroopseks indeksiks. Erinevatele <math>w</math> väärtustele vastavad erinevad mateerialiigid:
* <math>w = 1/3</math> vastab relativistlikule mateeriale, milleks on kiirgus ja [[neutriinod]];
* <math>w = 0</math> vastab mitterelativistlikule mateeriale, milleks on [[barüon]]- ja [[tumeaine]];
* <math>w = -1</math> vastab kosmoloogilisele konstandile.
Universum paisub kiirenevalt kui <math>w < -1/3</math> ning superkiirenevalt kui <math>w < -1</math>.
 
KuiSuperkiirenevale <math>wpaisumisele <vastab -1</math>fantoomenergia, siismille nimetatakse Friedmanni võrrandis esinevat energiat fantoomenergiaks. Sõltumata <math>w</math> väärtusestosakaal suureneb fantoomenergia osakaal universumiUniversumi paisumisel. Kui ei toimu faasiüleminekut ega eksisteeri teisi fantoomenergia liikmeid, siis hakkab fantoomenergia domineerima ning lõpliku aja vältel tekib singulaarsus nimega [[Big Rip]]. Singulaarsust iseloomustab seotud struktuuride, näiteks galaktikate ja aatomite, lahtirebimine. Mida negatiivsem on <math>w</math>, seda kiiremini saabub singulaarsus.▼
 
▲== Ühekomponendilise ideaalse vedeliku lahendid ==
Vaadates ainult ühte komponenti ning eeldades, et vedelik allub barotroopsele olekuvõrrandile, saab leida Friedmanni võrranditele lahendid.<ref name="Coles"/> Tasase ruumi jaoks saab:
 
<math>
76. rida ⟶ 88. rida:
 
<math>
H \equiv \frac{\dot{a}}{a} = \frac{2}{3(w+1)t} = H_0 \frac{t_0}{t}
</math>
 
<math>
q\rho = \equivrho_0 -\frac{aleft( \ddotfrac{a}(t)}{at_0} \right)^{-2} = {\frac{1+3w}{6(w+1)^2} =\pi constG = q_0t^2}}
</math>
 
<math>
t_0q =\equiv -\frac{a\ddot{a}(t)}{a^2} = \frac{3(1+w)H_03w}{2}
</math>
 
<math>
\rhot_0 = \rho_0 \left( \frac{t}{t_0} \right)^{-2} = {\frac{3(1}{6(+w+1)^2 \pi G t^2}H_0}
</math>
 
95. rida ⟶ 107. rida:
Kõikidel <math>w < 1 / 3</math> mudelitel eksisteerib singulaarsus kus mastaabikordaja läheneb nullile ning tihedus hajub. Vastavate lahendite nimeks on [[Suur Pauk]]. Nullist erineva kosmoloogilise konstandi korral võib singulaarsust vältida.
 
Üldjuhul mittetasase juhu jaoks võrrandid analüütiliselt ei lahendu. Mitterelativistliku aine erijuhul (<math>w=0</math>) saab võrrandid siiski lahendada.▼
=== Mittetasane ruum ===
▲Üldjuhul mittetasase juhu jaoks võrrandid analüütiliselt ei lahendu.
 
LahtiseNegatiivse kõverusega mudeli jaoks on lahendiks:▼
Eeldusel, et <math>a(t)</math> on piisavalt suur, saab lahtise juhu jaoks leida lähendi
 
<math>
a(t) \approx a_0 H_0 (1 - \Omega_0)^\frac{1}{2} t
</math>.
 
Kinnise juhu puhul eksisteerib punkt
 
<math>
a_m \equiv a(t_m) = a_0 \left( \frac{\Omega_0}{\Omega_0 - 1} \right)^\frac{1}{1+3w}
</math>,
 
kus <math> \dot{a} = 0 </math>, mida läbides on <math>\dot{a} < 0</math> ning <math>a</math> hakkab vähenema sümmeetriliselt kasvuga. Nulli jõudes tekib singulaarsus nimega [[Big Crunch]].▼
 
Tolmu või mateeria erijuhul on võimalik võrrandid analüütiliselt lahendada.
▲Lahtise mudeli jaoks on lahendiks:
 
<math>
123. rida ⟶ 119. rida:
</math>
 
KinnisePositiivse kõverusega mudeli lahendiks on [[tsükloid]]:
 
<math>
134. rida ⟶ 130. rida:
</math> .
 
▲kusPositiivse <math>kõveruse \dot{a}juhu =korral 0saab </math>leida punkti, mida läbides onkus <math>\dot{a} <= 0 </math> ning millest alates <math>a</math> hakkab vähenema sümmeetriliselt kasvuga. Nulli jõudes tekib singulaarsus nimega [[Big Crunch]].
== Erinevad w väärtused ==
▲Kui <math>w < -1</math>, siis nimetatakse Friedmanni võrrandis esinevat energiat fantoomenergiaks. Sõltumata <math>w</math> väärtusest suureneb fantoomenergia osakaal universumi paisumisel. Kui ei toimu faasiüleminekut ega eksisteeri teisi fantoomenergia liikmeid, siis hakkab fantoomenergia domineerima ning lõpliku aja vältel tekib singulaarsus nimega [[Big Rip]]. Singulaarsust iseloomustab seotud struktuuride, näiteks galaktikate ja aatomite, lahtirebimine. Mida negatiivsem on <math>w</math>, seda kiiremini saabub singulaarsus.
 
Kosmoloogilisele konstandile vastab <math>w = -1</math> ning energia on jaotunud ruumis ühtlaselt. [[Supernoova]]de [[standardallikate]] mõõdetud heledus on tugevam kui tavalisel ainel, kuid <math>w = -1</math> sobib katseandmetega hästi kokku. Lisaks näitab [[Kosmiline mikrolaine-taustkiirgus|kosmiline mikrolaine taustkiirgus]], et kosmoloogilise konstandi tihedus moodustab 70% vajaminevast energiatihedusest, et universum oleks tasane.
Kuigi energiatiheduse osa on gravitatsiooniliselt atraktiivne, on rõhu mõju Friedmanni võrrandite põhjal kolm korda suurem, mis põhjustab tumeenergia universumi kiireneva paisumise.
 
Olukorrale <math>w = -2 / 3</math> vastab ühes suunas piisavalt väike energiajaotus. Saab vastava komponendi ignoreerida ning käsitleda energiajaotust pinnana. Energia ruumjaotus peab olema isotroopne igal ajahetkel ja igas kaasaliikuvas taustsüsteemis. Universumi paisudes jääb pindtihedus konstantseks. Energiat kutsutakse [[domeenisein]]aks. Pinna liikumine risti tasandiga tõstab <math>w</math> väärtuse vahemikku <math>-2/3 < w < -1/3 </math>.
 
Kui energiajaotus on kahes suunas gravitatsioonilise horisondiga võrreldes tühine, siis olukorrale vastab <math>w = -1/3</math>. Ruumiliselt vastab jaotus joonele. Joontihedus peab olema isotroopne igas kaasaliikuvas taustsüsteemis. Joon on statsionaarne oma pikkuse suunas ning säilitab energia joontiheduse. Jooned ei käitu nagu tavalised osakesed. Joont nimetatakse kosmiliseks stringiks. Kosmilise stringi võivad põhjustada [[topoloogiline defekt|topoloogilised defektid]] varajases universumis.
 
Energia, mis evolutsioneerub, kui <math>w = 0</math>, on koondunud ühte punkti. Olukorrale vastab näiteks brüonaine, [[fundamentaalosakesed]], [[tumeaine]] ja topoloogilised defektid. Samuti sobivad ka eelnevatest moodustatud süsteemid, näiteks [[must auk|mustad augud]] ja [[raske tuum|rasked tuumad]]. Suvalises suunas liikuvale osakesele vastab vahemik <math>0 < w < 1/3</math>. Relativistlikel kiirustel suureneb <math>w</math> väärtus kuni <math>w \approx 1/3</math> ning osakest võib käsitleda kiirgusena.
 
Väärtusele <math>w = 1/3</math> vastab kiirgus. Lisaks tuntud elektromagneetilisele kiirgusele kuulub kiirguse alla ka [[gravitatsiooniline kiirgus]] ja [[neutriinod]]. Kiirguse alla võiksid kuuluda kõik osakesed, mida on võimalik piirata kolmemõõtmelisse ruumi ja kiirendada relativistlike kiirusteni. Samas kui sundida kiirgus staatilisse ja lõpliku suurusega ruumiossa, siis areneks kiirgus vastavalt <math>w=0</math>, sest energiatihedus ei muutuks. Erinevalt <math>w = 0</math> mudelist on kiirgusel nullist erinev rõhk, mille tõttu on kiirguse gravitatsiooniline jõud suurem kui <math>w = 0</math> ainel. Järeldub, et [[kiirguse dominantne ajastu]] paisub aeglasemalt, kui [[mateeria dominantne ajastu]].
 
Ülikergeks energiaks kutsutakse <math>w > 1/3</math>. Hüpoteesid vastava energia evolutsiooni kohta tulevad ajas muutuvatest skalaarväljadest.<ref name="Nemiroff"/>
 
== Viited ==
Pärit leheküljelt "https://et.wikipedia.org/wiki/Friedmanni_võrrandid"