Erinevus lehekülje "Kompleksarv" redaktsioonide vahel

Eemaldatud 25 baiti ,  7 aasta eest
P
re-categorisation per CFD using AWB
P (re-categorisation per CFD using AWB)
 
==Tehted kompleksarvudega==
 
=== Liitmine ja lahutamine ===
 
Teatud [[ruutvõrrand]]ite lahendamise võimatust märkis juba [[Muḩammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]], kes kirjutas sellest raamatus "[[Khisāb al-jabr wa-l-muqābalah]]" (umbes 825).
 
Imaginaarseid suurusi käsitles arvatavasti esimesena [[Gerolamo Cardano]] võrrandite lahendamist käsitleva teose "[[Ars magna, sive de regulis algebraicis]]" ([[1545]]) 37. peatükis. Ta ei mõistnud täielikult nende omadusi. [[Kuupvõrrand]]eid uurides lahendas ta järgmise ülesande: leida kaks arvu, mille summa on 10 ja mille korrutis on 40. Ülesanne taandub [[ruutvõrrand]]ile <math>x(10-x)=40</math> ehk <math>x^2-10x+40=0</math>. Ta märgib, et sel võrrandil lahendeid pole, kuid võtab siis ruutvõrrandi üldlahendi avaldise <math>x_{1,2} = - \frac{p}{2}\pm\sqrt{ \frac{p^2}{4} - q } </math> ning võtab ''p'' väärtuseks –10 ja ''q'' väärtuseks 40. Kui oleks võimalik anda tähendus avaldisele <math>\sqrt{25-40}</math> ehk <math>\sqrt{-15}</math> ning tohiks sellega arvutada tavaliste reeglite järgi, siis oleksid lahenditeks 5&nbsp;+&nbsp;&radic;<span style="text-decoration: overline">&minus;15</span> ja 5&nbsp;&minus;&nbsp;&radic;<span style="text-decoration: overline">&minus;15</span>. "Kui keegi ütleb: jaga 10 kaheks osaks, mille korrutis [...] on 40, siis on selge, et see juhtum on võimatu. Sellegipoolest toimime järgmiselt: jagame 10 kaheks võrdseks osaks, millest kumbki on 5. Need võtame ruutu, saame 25. Kui tahad, lahuta 40 äsja saadud 25-st [...]; nii saadud jääk on -15, selle ruutjuurt liidetuna 5-le või lahutatuna 5-st annab mõlemad osad korrutisega 40. Need on niisiis 5 + √-15 ja 5 - √-15." Cardano nimetas seda arutluskäiku sofistlikuks, sest ta ei näinud sellel tähendust, kuid sellegipoolest tegi ta arvutuse, mis näitas, et nende korrutis on 40. Ta ei pidanud negatiivsete arvude ruutjuuri kasutamiskõlblikeks, vaid sofistlikeks suurusteks (''quantitas sophistica'') ning leidis, et saadud vastus on "sama peen kui kasutu".
 
Insener [[Rafael Bombelli]], kes [[Kirikuriik|Kirikuriigi]] teenistuses soid kuivendas, oli oma üldarusaadavas õpikus "[[L'algebra, parte maggiore dell'aritmetica]]" ([[1572]]) esimene, kes pidas niisuguseid arve kasulikuks. Ta rakendas neid kuupvõrrandite lahendamiseks "taandumatutel juhtumitel" (''casus irreducibilis''), kui reaalarvulised [[lahend]]id avalduvad imaginaarsete suuruste [[kuupjuur]]tena ning kuupvõrrandil on kolm erinevat reaalarvulist lahendit. Ta esitas ka lihtsamad reeglid imaginaarsete suurustega arvutamiseks. Bombelli uuris muu hulgas võrrandit ''x''³=15''x''+4. Oli teada, et 4 on selle võrrandi lahend, [[Cardano meetod]] aga andis lahendiks <math>\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}</math>. Bombelli püüdis nende avaldistega arvutada, ning leidis, et (2 + √-1)³ = 2 + 11·√-1 = 2 + √-121, seega lahend ''x'' = 2 + √-1 + 2 - √-1 = 4. Bombelli kasutas uut laadi juurte väljendamiseks termineid "miinuse pluss" (''più di meno''; s.o +''i'') ja "miinuse miinus" (''meno di meno''; s.o -''i''). Ta esitas nende kohta arvutusreeglid, mis on analoogsed reeglitega negatiivsete arvudega arvutamiseks, mis ise olid tollal kahtlased:
*"pluss" korda "miinuse pluss" on "miinuse pluss" (+1·+''i'' = +''i'')
*"miinus" korda "miinuse pluss" on "miinuse miinus" (-1·+''i'' = -''i'')
*"pluss" korda "miinuse miinus" on "miinuse miinus" (+1·-''i'' = -''i'')
*"miinus" korda "miinuse miinus" on "miinuse pluss" (-1·-''i'' = +''i'')
*"miinuse pluss" korda "miinuse pluss" on "miinus" (+''i''·+''i'' = -1)
*"miinuse pluss" korda "miinuse miinus" on "pluss" (+''i''·-''i'' = +1)
*"miinuse miinus" korda "miinuse pluss" on "pluss" (-''i''·+''i'' = +1)
*"miinuse miinus" korda "miinuse miinus" on "miinus" (-''i''·-''i'' = -1)
 
[[Abraham de Moivre]] ja [[Roger Cotes]] lahendasid põhijoontes antud arvust [[n-astme juur|''n''-astme juur]]e võtmise probleemi. Moivre avastas ka valemi
 
:cos (n''α'') + ''i'' sin (n''α'') = (cos ''α'' + ''i'' sin ''α'')<sup>n</sup> ([[Moivre'i valem]]).
 
Imaginaarühiku ''i'' kui uue arvu kasutuselevõtt omistatakse [[Leonhard Euler]]ile. Temalt pärineb ka selle sümbol ''i''. Ta ei kasutanud seda järjekindlalt; see tähistus sai üldlevinuks tänu Gaussile. Et imaginaararvudega arvutamine oli näinud pelga mänguna, oldi üllatunud, et see mäng andis väga sageli väärtuslikke tulemusi või võimaldas anda juba teada olevatele tulemustele rahuldavama kuju. Teoses "[[Introductio in analysin infinitorum]]" käsitles Euler teatud märkimisväärseid võrdusi, mis sisaldavad ainult reaalarve ning osutuvad eranditeta paikapidavateks, mida aga imaginaararve kasutamata on raske tõestada.
==Märkused==
{{viited}}
 
[[Kategooria:Matemaatika]]
 
==Välislingid==
*[http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/imaginaer1.htm Jutta Gerhard. Das Imaginäre wird real.] (kompleksarvude ajaloost)
 
[[Kategooria:MatemaatikaArvud]]
 
{{Link FA|lmo}}
 
[[af:Komplekse getal]]
[[am:የአቅጣጫ ቁጥር]]