|
[[Pilt:Real number line.svg|pisi|Arvtelg, millele on kantud naturaalarvude alus ''[[e (arv)|e]]'', arv ''[[pii|π]]'' ja [[ruutjuur kahest]] <math>\sqrt{2}</math>.]]
[[Pilt:Number-line.gif|pisi|Kuigi joonisel on näha ainult täisarvud –9-st kuni 9-ni, kujutab arvsirge kõiki reaalarve nii täisarvude vahel kui ka lõputult mõlemal pool joonise raame.]]
[[Pilt:Simple number line.svg|pisi|Siin on täisarvudele vastavad punktid markeeritud põikilõikudega.]]
'''Arvtelg''' ehk '''arvsirge''' ehk '''reaalsirge''' on [[reaalarv]]ude kujutamiseks kasutatav [[sirge]], millel on fikseeritud arvu [[null]] kujutis ja arvu [[üks]] kujutis.<ref> Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002) </ref> Sellega on ühtlasi fikseeritud ka kõikide teiste reaalarvude kujutised (punktipaaridele, mille punktide kaugus on võrdne, vastavad reaalarvude paarid, mille arvude [[vahe]] [[absoluutväärtus]] on võrdne).
==Arvsirge konstrueerimine==
Arvsirge saamiseks valime kõigepealt algpunkti <math>O</math>, mis on arvu 0 kujutis, ning [[suund|suuna]] ([[positiivne suund|positiivse suuna]]), mis vastab arvude kasvamise suunale. Tavaliselt joonestatakse arvsirge horisontaalsena ning suurematele arvudele seatakse vastavusse parempoolsemad punktid. Kui sirge on kujutatud vertikaalsena, siis on suuremate arvude kujutised tavaliselt kõrgemal. Joonisel saab kujutada ainult osa sirgest; tavaliselt joonistatakse sirge katkestuskohale, mille suunas arvud kasvavad, noolepea, mis on suunatud arvude kasvamise suunas.
Et saada tavaline arvsirge ehk '''lineaarne arvsirge''', kanname sirgele valitud võrdsetel kaugustel [[täisarv]]ud ([[positiivne arv|positiivsed]] paremale, [[negatiivne arv|negatiivsed]] vasakule). Sellega on valitud arvsirge skaala. Joonisel markeeritakse tavaliselt ainult täisarvudele vastavad punktid. Täisarvude vahelised vahemikud täidame ülejäänud reaalarvudega.
Mis tahes [[punkt (matemaatika)|punkt]]ile arvsirgel vastab parajasti üks reaalarv ning ümberpöördult: igale reaalarvule <math>r</math> vastab parajasti üks punkt <math>P</math> arvteljel, nii et vektor <math>OP</math> on suunatud positiivses suunas, kui <math>r>0</math>, vastassuunas, kui <math>r<0</math>, ja see punkt on <math>O</math>, kui <math>r=0</math>; ning vektori [[pikkus]] on [[absoluutväärtus]] <math>|r|</math>. Selle, et igale reaalarvule vastab mingi punkt arvsirgel, tagab [[pidevuse aksioom]] tänapäeva geomeetria aksiomaatikas.
Arvsirge näitlikustab [[ühemõõtmeline eukleidiline ruum|ühemõõtmelist eukleidilist ruumi]]. Arvude järjestusele vastab punktide loomulik järjestus sirgel.
Arvsirget kasutatakse sageli [[reaalarvude hulk|kõigi reaalarvude hulga]] <math>\mathbb{R}</math> kujutamiseks ja [[funktsioon (matemaatika)|funktsioon]]ide [[graafik]]ute joonestamiseks. Arvsirge [[lõik]]udena kujutatakse [[intervall (matemaatika)|intervall]]e. Arvsirget kasutatakse ka [[liitmine|liitmise]] ja [[lahutamine|lahutamise]] õpetamisel, eriti tehete puhul [[negatiivne arv|negatiivsete arvudega]]. Samuti kasutatakse arvsirget [[võrratussüsteem]]ide lahendamisel ning tehete puhul reaalarvude hulga [[alamhulk]]adega.
==Arvsirge kui ruum==
Arvsirge punktid sageli samastatakse reaalarvudega. Seetõttu saab arvsirget vaadelda sirgena, mille punktid on reaalarvud. Arvsirge on siis [[reaalarvude hulk|kõigi reaalarvude hulk]] <math>R</math> kui [[ruum (matemaatika)|ruum]], nimelt [[ühemõõtmeline eukleidiline ruum]]. Seda ruumi saab vaadelda [[vektorruum]]ina, [[afiinne ruum|afiinse ruumina]], [[meetriline ruum|meetrilise ruumina]], [[topoloogiline ruum|topoloogilise ruumina]], [[mõõdu ruum]]ina või [[lineaarne kontiinuum|lineaarse kontiinuum]]ina.
Nagu ka reaalarvude hulka, tähistatakse reaalsirget tavaliselt sümboliga <math>R</math> või <math> \mathbb{R} </math>. Mõnikord kasutatakse ka tähist '''R<sup>1</sup>''', et näidata, et tegu on esimese eukleidilise ruumiga.
===Lineaarse kontiinuumina===
Reaalsirge on tavalise [[järjestus]]e < suhtes [[lineaarne kontiinuum]]: ta on [[lineaarne järjestus|lineaarselt järjestatud]] ning see järjestus on [[tihe järjestus|tihe]] ja tal on [[supreemumiomadus]].
Reaalsirgel ei ole [[maksimaalne element|maksimaalseid]] ega [[minimaalne element|minimaalseid elemente]]. Tal on [[loenduv hulk|loenduv]] [[tihe hulk|tihe]] [[alamhulk]], nimelt [[ratsionaalarvude hulk]]. On tõestatud, et mis tahes lineaarne kontiinuum, millel leidub loenduv tihe alamhulk ja ei leidu maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on [[järjestusisomorfsus|järjestusisomorfne]] reaalsirgega.
Reaalsirge rahuldab ka [[loenduva ahela tingimus]]t: iga [[paarikaupa ühisosata hulgad|paarikaupa ühisosata]] [[mittetühi hulk|mittetühjade]] [[lahtine intervall|lahtiste intervallide]] [[kogum]] reaalsirgel on [[loenduv|loenduv]]. [[Järjestusteooria]]s küsib kuulus [[Suslini probleem]], kas iga lineaarne kontiinuum, mis rahuldab loenduva ahela tingimust ning millel pole maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on reaalsirgega järjestusisomorfne. On osutunud, et see väide on [[valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika]]st sõltumatu.
==Meetrilise ruumina==
[[Pilt:Absolute difference.svg|pisi|300px|[[Meetrika]] reaalsirgel on [[absoluutvahe]] ehk [[vahe]] [[absoluutväärtus]].]]
* Reaalsirge [[isomeetriarühm]] ehk [[eukleidiline rühm]] <math>E(1)</math> koosneb kõigist funktsioonidest kujuga ''x'' ↦ ''t'' ± ''x'', kus <math>t</math> on reaalarv. See rühm on [[rühmade isomorfsus|isomorfne]] [[aditiivne rühm|aditiivse rühma]] <math>R</math> ning 2. järku [[tsükliline rühm|tsüklilise rühma]] [[poolotsekorrutis]]ega ning on [[üldistatud diedraalne rühm|üldistatud diedraalse rühma]] näide.
===Topoloogilise ruumina===
==Ajalugu==
[[Pilt:Real projective line.svg|pisi|Realsirge saab [[lõpmata kauge punkt]]i lisamise teel [[kompaktifikatsioon|kompaktifitseerida]].]]
Arvsirge kasutuselevõtjaks peetakse inglise matemaatikut [[John Wallis]]t.
Reaalsirgel on loomulik [[topoloogia (hulk)|topoloogia]], mille saab defineerida kahel moel.
== Arvsirge laiendused==
Kui lisada sirgele otspunktid +∞ ja -∞, saame [[laiendatud arvsirge]].
Kui lisame arvsirgele [[tasand]]il ristuva sirge, saame konstrueerida [[komplekstasand]]i, mille puhul [[tasand]]iga seatakse [[üksühene vastavus|üksühesesse vastavusse]] [[kompleksarvude hulk]]. Arvsirge on sellisel juhul komplekstasandi [[reaaltelg]].
== Arvsirge modifikatsioonid==
[[Eksponentsiaalne arvsirge|Eksponentsiaalse arvsirge]] ehk logaritmilise skaalaga arvsirge puhul vastavad etteantud kaugusele punktide vahel ühesugused proportsioonid arvude vahel. Eksponentsiaalsel arvsirgel on kujutatud ainult positiivsed reaalarvud.
Saab konstrueerida ka teistsuguseid arvsirgeid.
[[Pilt:Zahlenstrahl2.gif|pisi|[[Arvkiir]]]]
[[Arvkiir]]el on kujutatud ainult [[mittenegatiivne arv|mittenegatiivsed arvud]].
Esiteks, kuna [[reaalarvude hulk]] on loomulikul viisil [[täielikult järjestatud hulk]], on tal loomulik [[järjestustopoloogia]]. Teiseks, kuna reaalarvude hulk on loomulikul moel [[meetriline ruum]], on neil loomulik [[meetriline topoloogia]]. See järjestustopoloogia ja see meetriline topoloogia langevad kokku. [[Topoloogiline ruum|Topoloogilise ruumina]] on reaalsirge [[homöomorfsus|homöomorfne]] [[vahemik]]uga (0, 1).
== Vaata ka ==
Reaalsirge on triviaalsel moel [[topoloogiline muutkond]], mille [[mõõde]] on 1. Ta on homöomorfismi täpsusega üks kahest erinevast [[rajata muutkond|rajata]] [[1-muutkond|1-muutkonnast]] (teine on [[ringjoon]]).
* [[Komplekstasand]]
* [[Arvkiir]]
* [[Lõik]]
* [[Suunatud lõik]]
* [[Ühikringjoon]]
* [[Heine-Boreli teoreem]]
* [[Boreli hulk]]
* [[Descartesi ristkoordinaadid]]
* [[Arv]]
* [[Meetriline ruum]]
* [[Birkhoffi aksiomaatika]]
* [[Koordinaattelg]]
* [[Aleksandrovi sirge]]
* [[Suslini sirge]]
* [[Projektiivne reaalsirge]]
Tal on ka loomulik [[diferentseeruv struktuur]], millega ta on [[diferentseeruv muutkond]]. [[Difeomorfism]]i täpsusega võimaldab reaalsirge loomulik topoloogia ainult ühte diferentseeruvat struktuuri.
== Viited ==
{{viited}}
Reaalsirge on [[lokaalselt kompaktne ruum|lokaalselt kompaktne]] ja [[parakompaktne ruum|parakompaktne]], samuti [[loenduva baasiga ruum|loenduva baasiga]] ja [[normaalne ruum|normaalne]].
==Välislingid==
*[http://matemaatika.edu.ee/sisu/0015/index.html Arvsirge saidil matemaatika.edu.ee]
Ta on ka [[lineaarselt sidus ruum|lineaarselt sidus]] ning seetõttu ka [[sidus ruum|sidus]], kuigi teda saab muuta mittesidusaks ühe punkti eemaldamisega. Reaalsirge on ka [[kokkutõmmatav ruum|kokkutõmmatav]], nii et kõik tema [[homotoopiarühm]]ad ja [[redutseeritud homoloogia]] rühmad on 0.
Reaalsirge on [[lokaalselt kompaktne ruum]], mida saab mitut moodi kompaktifitseerida. Selle [[ühepunktiline kompaktifikatsioon]] on [[ringjoon]] (nimelt [[projektiivne reaalsirge]]) ning lisapunkti võib vaadelda [[märgita lõpmatus]]ena. Teise võimalusena saab reaalsirgele lisada kaks [[ots]]a, nii et saadakse [[laiendatud reaalsirge]] [−∞, +∞]. On ka [[Stone'i–Čechi kompaktifikatsioon]], mille puhul lisatakse lõpmata palju punkte.
[[Kategooria:Elementaarmatemaatika]]
Mõnel juhul on otstarbekas anda reaalsirgele mitteloomulikke topoloogiaid, näiteks [[alumise piirväärtuse topoloogia]] ja [[Zariski topoloogia]]. Reaalsirge puhul langeb viimane kokku [[kolõplik topoloogia|kolõpliku topoloogiaga]].
[[ar:مستقيم الأعداد]]
[[bn:সংখ্যারেখা]]
[[bg:Числова ос]]
[[cs:Číselná osa]]
[[de:Zahlengerade]]
[[en:Number line]]
[[es:Recta numérica]]
[[eo:Nombra akso]]
[[eu:Zuzen erreal]]
[[ko:수직선 (수학)]]
[[it:Retta dei numeri reali]]
[[he:ציר המספרים]]
[[ht:Liy Nimewo]]
[[ku:Jimarxêz]]
[[hu:Számegyenes]]
[[mk:Бројна оска]]
[[nl:Getallenlijn]]
[[ja:直線#座標]]
[[uz:Sonlar o'qi]]
[[pl:Oś liczbowa]]
[[pt:Reta numérica]]
[[ru:Числовая ось]]
[[simple:Number line]]
[[sl:Številska premica]]
[[ckb:ھێڵی ژمارە ڕاستەقینەکان]]
[[fi:Lukusuora]]
[[sv:Tallinjen]]
[[th:เส้นจำนวน]]
[[uk:Числова вісь]]
[[zh:数轴]]
| 