Arvtelg: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
16. rida:
==Arvsirge kui ruum==
Arvsirge punktid sageli samastatakse reaalarvudega. Seetõttu saab arvsirget vaadelda sirgena, mille punktid on reaalarvud. Arvsirge on siis [[reaalarvude hulk|kõigi reaalarvude hulk]] <math>'''R'''</math> kui [[ruum (matemaatika)|ruum]], nimelt [[ühemõõtmeline eukleidiline ruum]]. Seda ruumi saab vaadelda [[vektorruum]]ina, [[afiinne ruum|afiinse ruumina]], [[meetriline ruum|meetrilise ruumina]], [[topoloogiline ruum|topoloogilise ruumina]], [[mõõdu ruum]]ina või [[lineaarne kontiinuum|lineaarse kontiinuum]]ina.
Nagu ka reaalarvude hulka, tähistatakse reaalsirget tavaliselt sümboliga <math>'''R'''</math> või <math> \mathbb{R} </math>. Mõnikord kasutatakse ka tähist <math>'''R'''<sup>1</sup></math>, et näidata, et tegu on esimese eukleidilise ruumiga.
===Lineaarne kontiinuum===
Reaalsirge on tavalise [[järjestus]]e < suhtes [[lineaarne kontiinuum]]: ta on [[lineaarne järjestus|lineaarselt järjestatud]] ning see järjestus on [[tihe järjestus|tihe]] ja tal on [[supreemumiomadus]].
Reaalsirgel ei ole [[maksimaalne element|maksimaalseid]] ega [[minimaalne element|minimaalseid elemente]]. Tal on [[loenduv hulk|loenduv]] [[tihe hulk|tihe]] [[alamhulk]], nimelt [[ratsionaalarvude hulk]]. On tõestatud, et mis tahes lineaarne kontiinuum, millel leidub loenduv tihe alamhulk ja ei leidu maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on [[järjestusisomorfsus|järjestusisomorfne]] reaalsirgega.
Reaalsirge rahuldab ka [[loenduva ahela tingimus]]t: iga [[paarikaupa ühisosata hulgad|paarikaupa ühisosata]] [[mittetühi hulk|mittetühjade]] [[lahtine intervall|lahtiste intervallide]] [[kogum]] reaalsirgel on [[loenduv|loenduv]]. [[Järjestusteooria]]s küsib kuulus [[Suslini probleem]], kas iga lineaarne kontiinuum, mis rahuldab loenduva ahela tingimust ning millel pole maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on reaalsirgega järjestusisomorfne. On osutunud, et see väide on [[valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika]]st sõltumatu.
==Meetrilise ruumina==
[[Pilt:Absolute difference.svg|pisi|300px|[[Meetrika]] reaalsirgel on [[absoluutvahe]] ehk [[vahe]] [[absoluutväärtus]].]]
Reaalsirge moodustab [[meetriline ruum|meetrilise ruumi]], mille meetrika annab [[absoluutvahe]] ehk [[vahe]] [[absoluutväärtus]]:
:<math>''d''(''x'', ''y'') {{=}} {{!}} ''x'' − ''y'' {{!}} }}.
Kui <math>''p'' ∈ '''R'''}} ja <math>''ε'' > 0}}, siis
{{math|''ε''}}-[[kera]] ruumis <math>'''R'''}} keskpunktiga <math>''p''}} on lihtsalt [[vahemik]] <math>(''p'' − ''ε'', ''p'' + ''ε'')}}.
Reaalsirgel kui meetrilisel ruumil on mitu tähtsat omadust:
* Reaalsirge on [[täielik meetriline ruum]]: iga punktide [[Cauchy jada]] [[koonduv jada|koondub]].
* Reaalsirge on [[lineaarselt sidus ruum|lineaarselt sidus]] ning on [[geodeetiline meetriline ruum|geodeetilise meetrilise ruumi]] üks lihtsamaid näiteid.
* Reaalsirge [[Hausdorffi mõõde]] on 1.
* Reaalsirge [[isomeetriarühm]] ehk [[eukleidiline rühm]] <math>''E''(1)}} koosneb kõigist funktsioonidest kujuga <math>''x'' ↦ ''t'' ± ''x''}}, kus <math>''t''}} on reaalarv. See rühm on [[rühmade isomorfsus|isomorfne]] [[aditiivne rühm|aditiivse rühma]] <math>'''R'''}} ning 2. järku [[tsükliline rühm|tsüklilise rühma]] [[poolotsekorrutis]]ega ning on [[üldistatud diedraalne rühm|üldistatud diedraalse rühma]] näide.
==Ajalugu==
| |||