Graafide süsteem: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
+kokkuvõte |
+rakendusi |
||
12. rida:
Nivoode arv ''m'' vastab ''täisgraafi'' servade arvule pluss üks, mis tähendab ''tühigraafi'' (st 0 servaga graafi) olemasolu. Graafide arv ''p'', kui: |''V''| = 8 – 12344, kui |''V''| = 9 – 276668, kui |''V''| = 10 – 12005168, kui |''V''| = 11 – 1018997864 jne. Viimased aga ei moodusta süsteeme, sest seosed ei ole veel tuvastatud.
== Graafide süsteemi atribuutika ==
Igal graafil <math> G </math> on oma ''suurimad alamgraafid'' <math> G^{sub} </math>, mis saadakse ''serva'' <math> e_{i,j} </math> ''eemaldamisel'' <math> G^{sub} = G\setminus e_{i,j} </math> ja oma ''väikseimad ülemgraafid'' <math> G^{sup} = G\cup e_{i,j} </math>, mis saadakse serva lisamisel. Graafi alamgraafide arv võrdub servade arvuga ja ülemgraafide arv „mitteservade“ arvuga. Saadud graafe nimetagem koos ''naabergraafideks'' <math> G^{adj} </math>. Nii on |''V''|-tipuliste graafide süsteemis iga nivoo seotud oma alumise ja ülemise naabernivooga.
Graafi tipppude hulk jaguneb ''orbiitideks'' (st teatud tüüpi ekvivalentsusklassideks, transitiivsuspiirkondadeks) ja nende raames jaguneb tipupaaride hulk omaette orbiitideks <ref> Harary, F., 1972. ''Graph Theory''. Addison-Wesley, N.Y.</ref>. Iga tipupaari orbiidi raames saadud naabergraafid on [[isomorfism|isomorfsed]] ja moodustavad ''isomorfismiklassi''. Graafide süsteemi iga nivoo koosneb aga ''mitteisomorfsetest'' graafidest, st erinevaid isomorfismiklasse esindavatest graafidest, ehk struktuuridest.
Seega graafi igale tipupaari orbiidile vastab üks naaberstruktuur. Need vastavused kujutavad endast ''seoseid'' <math> F </math> ehk ''morfisme'' <math> F= G\rightarrow G^{adj} </math> naabernivoodel asuvate struktuuride (st isomorfismiklasse esindavate graafide) vahel. Seoste (morfismide) <math> F </math> fikseerimine graafide vahel muudab selle |''V''|-tipuliste graafide kogumi '''''graafide süsteemiks''''' <math>\mathfrak {G}
== Graafide süsteemi üldised omadused ==
23. rida:
* Kui nivoode arv ''m'' süsteemis on ''paarisarv'' (näiteks |''V''|=6 ja |''V''|=7 puhul), siis on võre ''bilateraaalselt sümmeetriline'' seda poolitava telje suhtes, mis lahutab graafid <math> G </math> nende ''täienditest'' <math> \overline G </math>.
* Kui nivoode arv ''m'' süsteemis on ''paaritu arv'' (näiteks |''V''|=4, |''V''|=5, |''V''|=8 ja |''V''|=9 puhul), siis on poolitavaks teljeks nivoo millel asuvad nii graafid <math> G </math> ja ''täiendid'' <math> \overline G </math> kui ka ''isetäienduvad struktuurid''.
* Morfism <math> F </math> on ''pööratav'', graafi igal naaberstruktuuril <math> G^{adj} </math> on „pöördorbiit“, millele rakendatud
* Süsteem <math> SG </math> on otseselt seotud [[Ulami hüpotees|rekonstruktsiooniprobleemiga]].
42. rida:
* Süsteemi morfismide klass '''F''' moodustab kompositsiooni ''F&F'' mõttes [[rühm|aditiivse rühma]] <math> A </math>.
* Süsteemi struktuuride klass '''GS''' koos morfismide klassiga '''F''' moodustab [[kategooria]] <math> C </math>.
== Rakendusi ==
Esineb reaalseid süsteeme mille toimimist on võimalik kujutada selle struktuuri järkjärgulise muutumise näol ajas. Kui süsteemi <math>\mathfrak {G} </math> struktuure käsitleda reaalse süsteemi ''seisunditena'' ajahetkel <math> t </math>, <math> S_{t} </math>, siis kujutab suktsessioon <math> SF = S_{t=1}\rightarrow S_{t=2}\rightarrow S_{t=3}\rightarrow </math>, endast morfismide <math> F </math>, kui ''sisendmõjutuste'', poolt genereeritud ''dünaamilist või evolutsioonilist nähtust''. Sellisel viisil on ülesehitatud elegantne kuid abstraktne ontogeneesimudel.
Niisugust lähenemist on rakendatud loodusliku koosluse evolutsiooni uurimisel, kus selle seisundid olid esitatud graafidena <ref> Martin, J., Tevet, J. T. ''On the interrelations between structure, dynamics and evolution of ephilitic lichen synusiae''. – Proc. Estonian Acad. Sci., 37 (1988) N 1, 56-66 </ref>.
== Kokkuvõte ==
Selliseid graafide süsteeme on praegu võimalik moodustada vaid algoritmilisel teel, täpsemini, [[struktuurisemiootika|semiootilise modelleerimise]] teel. Ei ole usutav, et keegi oleks üritanud seda teha [[kombinatoorika]] või [[algebra]] baasil, sest seal puudub vastav atribuutika. Ametlikult
| |||