Vektorruum: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
Resümee puudub |
|||
37. rida:
Baasi olemasolu annab hea intuitiivse ülevaate vektorruumide struktuurist. Vektorruumi ''V'' üle ''K'' ''baasiks'' nimetatakse [[lineaarne sõltumatus|lineaarselt sõltumatute]] vektorite hulka ''B'' = {'''v'''<sub>i</sub>| i ∈ ''I''}, kus ''I'' tähistab ''indeksite hulka'', et ''B'' lineaarne kate moodustaks ''V'' = <''B''>. Teisisõnu iga vektor '''v''' ∈ ''V'' on esitatav järgmise [[lineaarkombinatsioon]]ina
:'''v''' = ''a''<sub>1</sub>'''v'''<sub>''i''<sub>1</sub></sub> + ''a''<sub>2</sub>'''v'''<sub>''i''<sub>2</sub></sub> + ... = ∑<sub>i ∈ ''I''</sub> ''a''<sub>i</sub>'''v'''<sub>''i''<sub>1</sub>
kus ''a''<sub>''i''</sub> ∈ ''K'' on skalaarid ja
Igal vektorruumil on baas. Viimane järeldub [[Zorni lemma|Zorni lemmast]], mis eeldab [[valikuaksioom]]i kehtivust. [[Zermelo-Fraenkeli hulgateooria]]s on baasi olemasolu valikuaksioomiga [[ekvivalentsus|ekvivalentne]]. [[Ultrafiltri lemma]]st, mis on nõrgem kui valikuaksioom, järeldub, et vektorruumi kõik baasid on [[võrdvõimsus|võrdvõimsad]]. Kui vektorruumi lineaarse katte moodustab mõni lõplik hulk, on eelseisev tõestatav otseselt hulgateooriale toetumata.
| |||