|
==Viited==
<references/>
'''Isomorfism''' ([[kreeka keel|kreeka]]: [[wikt:ἴσος|ἴσος]] ''isos'' – ühesugune, ja [[wikt:μορφή|μορφή]] ''morphe'' – vorm) moodustavad koos [[homomorfism]]iga [[filosoofiline kategooria|filosoofilise kategooria]], mis iseloomustab vastavust objektide struktuuride vahel <ref> Schmitd, Heirich, 1991. Philosophisches Wörerbuch. Stuttgard.</ref> <ref> Новая филосовская энциклопкдив. 2001, Москва. ISBN 5-244-00961-3 (00962-1) </ref>.
Mõned spetsiifilise suunitlusega filosoofilised koolkonnad võivad mitte tunnistada nende mõistete kuulumist kategooriate kilda.
==Selgitus==
Isomorfism tähendab vastavust, kus kaks süsteemi, vaadelduna lahus neid moodustavate elementide loomusest, vastab esimese süsteemi igale elemendile ainult üks teise süsteemi element ning ühe süsteemi igale seosele vastab ainult üks seos teises – ja vastupidi. Seega saab isomorfismist rääkida vaid niisuguste objektide puhul, millel on struktuur, st on määratletud selle elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted).
Isomorfism on määratletav kui '''''struktuuri säilitav üks-ühene vastavus objektide vahel'''''.
Isomorfsete objektide hulk moodustab '''''isomorfismiklassi'''''.
Teadaolevalt võttis isomorfismi termini kasutusele 1857. aastal A. Cayley oma keemiliste isomeeride alastes uuringutes <ref> A. Cayley, 1857. On the theory of the analytical forms called trees. ''Phil. Mag. (4) 13 (1857), 172-176''</ref>. Kõige piltlikum näide isomorfismist on graafide isomorfism.
Kaks graafi on isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri, vaatamata nende erinavaele „välimusele“.
{|class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
! Graaf G
! Graaf H
! Isomorfism<br />G ja H vahel
|-
|style="padding-left:2em;padding-right:2em;"|[[Image:Graph isomorphism a.svg|100px]]
|style="padding-left:1em;padding-right:1em;"|[[Image:Graph isomorphism b.svg|210px]]
|align="center" style="background-color:white;"|ƒ(''a'') = 1
ƒ(''b'') = 6
ƒ(''c'') = 8
ƒ(''d'') = 3
ƒ(''g'') = 5
ƒ(''h'') = 2
ƒ(''i'') = 4
ƒ(''j'') = 7
|}
==Isomorfism matemaatikas==
Matemaatikas defineeritakse isomorfismi kui süsteemi niisugust üks-ühest kujutust sama tüüpi süsteemiks, mille korral säilib süsteemide [[struktuur]]. Näiteks, kujund ja selle kujundi matemaatiline avaldis.
Isomorfism on pööratav [[morfism]], millel on ''pöördmorfism'', kus nende korrutis on ''ühikmorfism''. [[topoloogia|Topoloogilist]] isomorfismi nimetatakse ''homoömorfismiks''.
Isomorfismiprobleem on aktuaalne algebras, kategooria- ja graafiteoorias.
[[Algebra]]s on isomorfism kujutus objektide vahel mis näitab suhet kahe omaduse või operatsiooni vahel. Kui kahe struktuuri vahel esineb isomorfism, siis öeldakse, et vastavad objektid on ''isomorfsed''. Teatud mõttes on isomorfsed objektid ''struktuurselt samased'', kui muud liiki erinevused on ignoreeritud. Veelgi formaalsemalt on isomorfism ''bijektiivne kujutus'' ''f'' niisugune, et ''f'' ja selle pöördfunktsioon ''f''<sup> −1</sup> on struktuuri säilitavad kujutused kahe algebralise struktuuri vahel, st need mõlemad on [[homomorfism|homomorfsed]]. Isomorfism on algebras samalaadselt defineeritud ka [[rühm]]a, [[ring]]i ja teiste struktuuride kohta.
Isomorfism [[graafiteooria]]s tähendab graafide ''G'' ja ''H'' struktuuri säilitavat tippude bijektsiooni
:<math> f \colon V(G) \to V(H) \,\!</math>
niisugust, et kui graafi ''G'' mingid kaks tippu ''u'' ja ''v'' on ''seotud'', siis ja ainult siis on ƒ(''u'') ja ƒ(''v'') ''seotud'' garaafis ''H''.
Selle näide on selgituses esitatud. Oluline on siin nende [[substitutsioon]]ide väljatoomine:
<math>\begin{pmatrix} a & b & c & d & g & h & i & j \\ 1 & 6 & 8 & 3 & 5 & 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}</math>
Kahe graafi isomorfsust tähistatakse <math>G\simeq H</math>. Juhul kui bijektsioon on graafi kujutus iseendasse, st kui ''G'' ja ''H'' on üks ja sama graaf, siis seda bijektsiooni nimetatakse graafi ''G'' [[automorfism]]iks '''''AutG'''''.
Graafide isomorfism on [[ekvivalentsus|ekvivalentsussuhe]] ning graafe võib [[klassifitseerimine|klassifitseerida]] [[ekvivalentsus|ekvivalentsusklassideks]]. Isomorfsete graafide hulka nimetatakse '''''graafide isomorfismiklassiks'''''.
==Isomorfismiprobleem==
Isomorfismiprobleemiks nimetatakse ülesannet konstrueerida efektiivne [[algoritm]], mis antud klassi kahe suvalise [[algebra]]lise süsteemi korral selgitab, kas nad on isomorfsed või mitte. Isomorfismiprobleemi on [[rühm|rühmateooria]] seisukohalt käsitlenud C. Hoffman <ref> C. Hoffman. 1982. Group-Theoretic Algorithms and Graph Isomorphism. ''Springer''.</ref> väites, et rühmade „struktuur” sarnanevat isomorfismiprobleemile. Paraku jääb see sarnasus kõrvaltvaatajale raskelt tabatavaks. See probleem on seni lahendamata paljude oluliste algebra klasside puhul.
Eriline roll on isomorfismiprobleemil graafide vallas. Selle põhimõtteline teoreetiline algoritm täiesti olemas – see seisneb graafi ''H'' seosmaatriksi ridade ja nendele vastavate veergude ümberpaigutamises (permuteerimises, ümberjärjestamises, ümbervahetamises) niikaua, kui see ei lange kokku graafi ''G'' seosmaatriksiga. Sellel on üks oluline puudus – see on väga mahukas (keeruline), selle sammude arv läheneb ''n''! (''n''-faktoriaalini). Omal ajal arvati, et 16! permutatsiooni arvutamine võtaks aega kuni 40 aastat.
Hakati otsima teisi teid graafide isomorfismi tuvastamiseks, mis oli aastail 1970-1980 väga populaarne. Näiteks, S. Toida <ref> S. Toida. Isomorphism of graphs. 1973. – ''Proc. 16th Midwest Symp. Circuit Theory, Waterloo, 1973, XVI.'' 5.1-5.7. </ref> pakkus selleks tõsimeeli välja „kauguste maatriksi“. Tõepoolest on graafi kaugustemaatriksid omavahel kergemini eristatavad kui seosmaatriksid. Graafide mitteisomorfismi võib nende abil tuvastada „peaaegu alati“, ka isomorfismi tuvastamine võib vahel korda minna.
Selle perioodi algoritme on kriitiliselt analüüsinud R. C. Read ja D. G. Corneil <ref> Read, R. C., Corneil, D. G., 1977. The graph isomorphism disease. ''J. of Graph Theory, 1 (1977)'', 339-363.</ref> ning G. Gati <ref> Gati, G., 1978. Further annotated bibliography on the isomorphism disease. ''J. of Graph Theory, 3 (1979),'' 95-109. </ref>, kes tituleerisid isomorfismiharrastuse „isomorfismihaiguseks“. Isomorfismiprobleem muutus vahepeal koguni tabuks. Selle probleemi sisulist käsitlemist väldivad oma graafiõpikutes paljud. Näiteks B. Bollobas´i „Modern Graph Theory“<ref> B. Bollobás. Modern Graph Theory. 1998. ''Springer.'' </ref> on isomorfismi-probleemile pühendanud vaid kaks sõna, selles käsitletakse peamiselt „praktilisi“ probleeme nagu vooge võrkudes jne. Siiski tuuakse graafide isomorfismi visuaalne näide ära peaaegu kõikides graafiõpikutes – ja sellega enamasti piirdutaksegi.
Mõned algoritmilist graafiteooriat esitavad oopused, nagu N. Chistofiedese <ref> N. Christofides. 1975. Graph Theory: An algorithmic approach. ''Academic Press, N.Y., London, San Francisco'' </ref> oma, ei sisalda mitte midagi isomorfismiga seonduvat. Kuid tegijaid leidub. Näiteks, seda on lahanud Netšepurenko jt <ref> M. Нечепуренко и др. 1990. Алгоритмы и программы решение задач для графов и сетей. ''Новосибирск''. </ref> ning esitanud ka sellega seotud algoritme ja arvutiprogramme. L. Babai <ref> L. Babai. 1977. On the isomorphism problem. ''Unpublished manuscript'' </ref> leiab selleks Monte-Carlo algoritmi sobiva olevat. G. Tinhofer, M. Lödecke, S. Bauman ja L. Babel <ref> G. Tinhofer, M. Lödecke, S. Baumann, L. Babel. 1997. STABCOL, Graph Isomorphism Testing on the Weisfeiler-Leman Algorithm. </ref> , väidavad, et isomorfismi probleem on lahendatav Weisfeiler-Lehmani algoritmi abil. C. V. Raj ja M. S. Shivakumar loendavad mitmesuguseid spetsiifilisi atribuute selle probleemi lahendamiseks. Tuleb ära märkida G. Kobler´i, H. Schöning´i ja J. Toran´i monogaafiat <ref> G. Kobler, H. Schönig, J. Toran. 1993. The Graph Isomorphism Problem: Its Structural Complexity. </ref>, kus käsitletakse seda ajalise keerukuse aspektist. Ka K. Thulasirman ja M. N. S. Swamy <ref> K. Thulasiraman, M. N. S. Swamy. 1992 Graphs: Theory and Algorithms. ''John Wiley & Sons.'' </ref> ning S. Pemmaraju, S. Sciena <ref> S. Pemmaraju, S. Sciena.2003. Computational Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. ''Cambridge University Press'' </ref> piirduvad isomorfismi puhul vaid keerukuseprobleemi esile toomisega.
Aktuaalne ongi isomorfismiprobleemi käsitlemine [[algoritmiline keerukus|ajalise keerukuse]] (inglise time complexity) seisukohalt. Levinud on arvamus, et see on mitte-polünomiaalne '''NP''' (inglise non-polynomial) ning praeguse aja „ametlik arvamus“ peab parimaks A. Luksi (1983) algoritmi ajalise keerukusega 2<sup>O(√(''n'' log ''n''))</sup> ''n''-tipulise graafi puhul.<ref name="Johnson 2005">{{harvnb|Johnson|2005}}</ref>. Kuid neid on konstrueeritud ja tõestatud ka polünomiaalsetena '''P''' nagu seda on A. Dharwadkeri jt <ref> A. Dharwadker, J.-T. Tevet. 2009. The Graph Isomorphism Algorithm. ''Proc. Institute of Mathematics'', Amazon Books, ISBN 9781466394374 </ref>. oma. Paljudel juhtudel pole see aga tõestatud. Diskussioonid keerukuse teemal kestavad.
Isomorfismi tuvastamise meetodite süstematiseerimine on viinud lihtsa skeemini: a) sorteerimise ja mitte-sorteerimis meetodid; b) lokaalsete ja globaalsete invariantide kasutamise meetodid.
[[Invariant]]idele rajatud meetodid on viinud isomorfismi tuvastamise graafide ''kanoonilise esituse'' tasemele, mis tähendab graafi kujutamist mingil selle struktuuri esitaval kujul, soovitavalt isomorfismi täpsusega. Kanoonilise esituse probleemi püstitas arvatavasti Lazlo Babai <ref> L. Babai. 1983. Canonical labelling of graphs. – ''Proc. 15th ACM Symposium on Theory Computing'' 171-183. </ref> 1977. aastal.
Frank Harary <ref> Frank Harary. 1969. Graph Theory. ''Addison-Wesley''. </ref> järgi on isomorfismiprobleem lahendatav globaalinvariantide (polünoomid, spektrid jt) täieliku süsteemi baasil. S. Locke (* www.math.fau.edu/locke/isotest. ) leiab, et isomorfismi testimiseks sobivad hästi kahendsüsteemis esitatud ülipikad 3-kuup-koodid. A. Zõkov <ref> A. Зыков. 1987. Основы теории графов. ''Наука'' </ref> on arvamusel, et see on lahendatav graafi tihedust, tsükleid, klikke jne iseloomustavate lokaalsete invariantide baasil.
==Isomorfismiklassid ja kanooniline esitus==
Isomorfismiklassid on graafiteooriad hästi rakendatavad. Isomorfismiklassi kuuluvatel graafidel on üks ja seesama struktuur. Seda struktuuri on võimalik esitada spetsiaalse [[struktuurisemiootika|struktuurse mudeli]] '''''S''''' abil <ref> J.-T. Tevet. 2009. Graafi semiootiliste invariantide müsteerium. ''S.E.R.R., Tallinn''. ISBN 9789949183319 </ref>. [[File:Equivalence.jpg|thumb|alt=Structural equivalence|Graafid ja nende struktuursed mudelid.]]
Erinevad graafid '''''G''''' ja '''''H''''' omavad ühesuguseid ehk ekvivalentseid struktuurseid mudeleid '''''S(G) ''''' ja '''''S(H)''''' ! See tähendab, et graafid on '''''isomorfsed''''' <math>G\simeq H</math> ehk nende '''''struktuurid on ekvivalentsed'''''. On tõestatud, et struktuursete mudelite moodustamise ja nende ekvivalentsuse fikseerimise ajaline keerukus on '''P''' <ref> A. Dharwadker, J.-T. Tevet. 2009. The Graph Isomorphism Algorithm. ''Proc. Institute of Mathematics'', Amazon Books, ISBN 9781466394374 </ref>.
==Isomorfismist erinevates valdkondades==
Isomorfismi mõistet kasutatakse ka [[geoloogia]]s, [[bioloogia]]s, [[füüsika]]s jm. Korrektne on seda kasutada vaid seal, kus nende spetsiifiliste objektide struktuur ja bijektsioon on määratletav. See tähendab, kui nende geoloogiliste (bioloogilidte, füüsikaliste jt) süsteemide elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted) on määratletud. Tegelikkuses sellest alati kinni ei peeta.
[File:Rubik's cube.svg|thumb|Rubik’s cube as a system what retain the structure (i.e. positions of elements)]]
==Viited==
<references/>
==Vaata ka==
*Filosoofia leksikon. 1985. Tallinn.
*Семёнов, A. Л., 1979. Изоморфизм. ''Математическая энциклопедия, Том 2'', Москва.
*McGraw-Hill dictionary of Mathematics, 1997. N. Y., ISBN 007524335.
| 