Taylori valem: erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
Resümee puudub |
Resümee puudub |
||
1. rida:
=Ühe muutuja funktsioon=▼
'''Taylori valem''' esitab [[reaalarv|reaal]]- või [[kompleksarv|kompleksarvulise]] [[funktsioon]]i, mis peab olema [[polünoom]]i astme n+1'i reaal- või kompleksarvuliste [[väli|väljade]] [[ümbrus|ümbruses]] [[differenseeruv]], kahe [[muutuja]] funktsiooni [[binoom]]ide (x - a) ja (y - b) astmete polünoomi ja ühe [[jääkliige|jääkliikme]] summana, kus polünoomi aste on n. ▼
Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:
: <math> f(x) \approx f(a) + \frac
==Näited==▼
, mis kompaktsemalt kirja panduna summa notatsiooniga omandab kuju:▼
Lihtne näide Taylori valemist on [[eksponentfunktsioon]]i <math>e^x\,</math> lähendamine ''x'' = 0 juures:
: <math> \
Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse <math>f(x)</math> vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt. Kui ''n'' ≥ 0 on [[täisarv]] ja <math>f\,</math> on funktsioon, mis on ''n'' korda pidevalt diferentseeruv [[lõik (matemaatika)|lõigul]] [''a'', ''x''] ja ''n'' + 1 korda diferentseeruv [[vahemik (matemaatika)|vahemikus]] (''a'', ''x''), siis leidub arv <math>\xi \in (a, x)</math> nii, et
Kus ''n''! tähistab [[faktoriaal]]i ''n''ist ja ''ƒ''<sup> (''n'')</sup>(''a'') tähistab ''n''dat [[tuletis]]t ''ƒ''ist, mille väärtus on leitud punktis ''a''. Nullis tuletis on ''ƒ''ist on defineeritud, kui ''ƒ'' ist ja (''x'' − ''a'')<sup>0</sup> ja 0! on mõlemad defineeritud olema 1. Juhul, kui ''a'' = 0, siis polünoomi kutsutakes '''Maclaurin'i polünoomiks'''.▼
<math> f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}.</math>
▲=Ühe muutuja funktsioon=
▲==Näited==
===Kohal x=0 Taylori valemi 1-8'dat järku polünoomid funktsioonile:===
Juhul, kui x=0 on tuntud ka, kui [[Colin Maclaurin|Maclaurin]]i valem.
53. rida:
=Mitme muutuja funktsioon=
▲'''Taylori valem''' esitab [[reaalarv|reaal]]- või [[kompleksarv|kompleksarvulise]] [[funktsioon]]i, mis peab olema [[polünoom]]i astme n+1'i reaal- või kompleksarvuliste [[väli|väljade]] [[ümbrus|ümbruses]] [[differenseeruv]], kahe [[muutuja]] funktsiooni [[binoom]]ide (x - a) ja (y - b) astmete polünoomi ja ühe [[jääkliige|jääkliikme]] summana, kus polünoomi aste on n.
<math>f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots. </math>
▲, mis kompaktsemalt kirja panduna summa notatsiooniga omandab kuju:
:<math> \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}</math>
▲Kus ''n''! tähistab [[faktoriaal]]i ''n''ist ja ''ƒ''<sup> (''n'')</sup>(''a'') tähistab ''n''dat [[tuletis]]t ''ƒ''ist, mille väärtus on leitud punktis ''a''. Nullis tuletis on ''ƒ''ist on defineeritud, kui ''ƒ'' ist ja (''x'' − ''a'')<sup>0</sup> ja 0! on mõlemad defineeritud olema 1. Juhul, kui ''a'' = 0, siis polünoomi kutsutakes '''Maclaurin'i polünoomiks'''.
==Vaata ka==
| |||