Tuletis (matemaatika): erinevus redaktsioonide vahel

Eemaldatud sisu Lisatud sisu
VolkovBot (arutelu | kaastöö)
P r2.5.1) (robot lisas: am:ለውጥ
Hardi27 (arutelu | kaastöö)
Resümee puudub
11. rida:
==Määratlus==
===Tuletis antud kohal===
Olgu antud reaalarvuliste väärtustega funktsioon <math>f : D \to \mathbb{R}</math> määramispiirkonnaganing <math>D \subset \mathbb{R}x</math> ningmõni reaalarv <math>xfunktsiooni \in D</math>määramispiirkonnast. Kui leidub (lõplik või lõpmatu) [[piirväärtus]] <math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>, siis seda nimetatakse funktsiooni <math>f\,</math> '''tuletiseks kohal <math>x\,</math>''' ning tähistatakse sümboliga <math>f'(x)\,</math>.
 
Tavaliselt määratletakse funktsiooni tuletis vaid tema [[määramispiirkond|määramispiirkonna]] [[sisepunkt]]ides, s. t. eeltoodud definitsiooni lisatakse veel eeldus, et <math>x\,</math> on hulga <math>D\,</math> sisepunkt.
31. rida:
===Lagrange'i tähistus===
Eeltoodud määratluses kasutasime [[Joseph-Louis Lagrange]]'i tähistust:
: <math>f'(x)\,</math> - funktsiooni <math>f\,</math> tuletis kohal <math>x\,</math>
: <math>f''(x)\,</math> - teist järku tuletis
: <math>f'''(x)\,</math> - kolmandat järku tuletis
: <math>f^{IV}(x)\,</math> ehk <math>f^{(4)}(x)\,</math> - neljandat järku tuletis
: <math>f^{(n)}(x)\,</math> - <math>n</math>-ndat järku tuletis (<math>n \in \mathbb N</math>)
 
===Leibnizi tähistus===
46. rida:
===Newtoni tähistus===
Kui funktsiooni argument tähistab aega (sellisel juhul kasutatakse argumendi tähistamiseks tähe <math>x\,</math> asemel enamasti tähte <math>t\,</math>), kasutatakse füüsikas sageli ka [[Isaac Newton|Newton]]i tähistust: kui muutuja <math>y\,</math> sõltuvust ajast <math>t\,</math> kirjeldab seos <math>y = f(t)\,</math>, siis funktsiooni <math>f\,</math> tuletisi tähistatakse
: <math>\dot{y} = f'(t)</math>
: <math>\ddot{y} = f''(t)</math>
ja nii edasi.
 
59. rida:
==Tuletise rakendusi==
===Matemaatika===
 
====L'Hospitali reegel====
{{vaata|L'Hospitali reegel}}
66. rida ⟶ 67. rida:
 
siis kehtib võrdus
: <math>\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} .</math>
Näiteks <math>\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{(\sin x)'}{(x)'} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1 .</math>
 
74. rida ⟶ 75. rida:
Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:
 
: <math> f(x) \approx f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n.</math>
 
Lihtne näide Taylori valemist on [[eksponentfunktsioon]]i <math>e^x\,</math> lähendamine ''x'' = 0 juures:
 
: <math> \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.</math>
 
Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse <math>f(x)</math> vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt. Kui ''n'' &ge; 0 on [[täisarv]] ja <math>f\,</math> on funktsioon, mis on ''n'' korda pidevalt diferentseeruv [[lõik (matemaatika)|lõigul]] [''a'', ''x''] ja ''n''&nbsp;+&nbsp;1 korda diferentseeruv [[vahemik (matemaatika)|vahemikus]] (''a'', ''x''), siis leidub arv <math>\xi \in (a, x)</math> nii, et
89. rida ⟶ 90. rida:
Teine tuletis määrab funktsiooni graafiku "kõveruse": kui teine tuletis mingil kohal on nullist erinev, siis funktsiooni graafik asub antud punkti ümbruses selles punktis tõmmatud puutujast paremal või vasakul ("kõverdub" päripäeva või vastupäeva) ning esimese ja teise tuletise abil saab arvutada graafiku [[kõverusraadius]]e. Kui funktsiooni teine tuletis on mingis lõigus positiivne või negatiivne, siis funktsioon on antud lõigus vastavalt [[kumer funktsioon|kumer]] või [[nõgus funktsioon|nõgus]]. Graafiku punkte, kus funktsiooni teine tuletis on 0, nimetatakse [[käänupunkt]]ideks.
 
=== Füüsika ===
Füüsikas kasutatakse tuletist hetkkiiruse leidmiseks liikumisvõrrandist.
 
Tuletis ja matemaatiline analüüs üldiselt on tänapäeva füüsikas asendamatu abivahend loodusnähtuste kirjeldamisel. Üks olulisi tuletise rakendusi on näiteks füüsikaliste suuruste (ajalise) muutmise kiiruse kirjeldamine ning [[liikumisvõrrand]]ite kirjapanemine.
Näide: liikugu punkt mingis koordinaatsüsteemis sirgjooneliselt ühtlase kiirendusega võrrandi <math>x=t^2+3</math> järgi. Kiiruse leidmiseks ajahetkel <math>t</math> võetakse liikumisvõrrandist aja järgi tuletis:
 
Näide: [[Kiirus]] ehk asukoha ajalise muutumise kiirus leitakse kohavektorist ajalise tuletise võtmise teel. Liikugu punkt mingis koordinaatsüsteemis sirgjooneliselt võrrandi <math>x = t^2 + 3</math> järgi. Kiiruse leidmiseks ajahetkel <math>t</math> võetakse liikumisvõrrandist aja järgi tuletis: <math>\dot{x} = 2t</math>. Kiiruse võrrandist omakorda tuletise võtmine annab kiiruse muutumise kiiruse ehk [[kiirendus]]e: <math>\dot{v} = 2</math>. Näeme, et antud punkt liigub ühtlase kiirendusega.
 
Näide: Liikugu keha keskkonnas mille poolt avaldatav hõõrdejõud on võrdeline keha kiirendusega, st ''F = - k v'', kus ''k'' on võrdetegur. Seega on keha liikumisvõrrand vastavalt [[Newtoni II seadus]]ele
: <math>m \dot{v} = F = - k v,</math>
kus <math>\dot{v} = a</math> on kiirendus, ''m'' on keha mass. Saadud avaldis annab [[harilik diferentsiaalvõrrand|hariliku diferentsiaalvõrrandi]], mille lahend ütleb, kuidas keha kiirus ajas muutub.
 
<math>\dot{x}=2t</math>. Kiirusvõrrandist omakorda tuletise võtmine annab kiiruse muutumise kiiruse ehk [[kiirendus]]e (antud juhul konstant 2).
 
==Üldistusi==
 
===Diskreetne matemaatika===
[[Loogikafunktsioon]]i tuletis argumendi järgi määrab [[loogikatingimus]]ed, milliste puhul funktsiooni väärtus on tundlik selle argumendi muutuste suhtes (kas otse- või vastandfaasis).
105. rida ⟶ 111. rida:
<math>\frac{\partial (f(x_1,x_2,x_3,x_4))}{\partial x_2}=x_1 \lor x_2 x_4 \oplus \bar{x_1} \lor x_2 x_4= \bar{x_1} \bar{x_2} \lor \bar{x_1} \bar{x_4} \lor \bar{x_1} x_2 x_4</math>
 
== Vaata ka ==
 
* [[Osatuletis]]
* [[Integraal]]
* [[Diferentsiaalvõrrand]]