Erinevus lehekülje "Tuletis (matemaatika)" redaktsioonide vahel

resümee puudub
P (r2.5.1) (robot kustutas: da:Differentialregning, de:Differentialrechnung)
 
[[Funktsioon (matemaatika)|Funktsioon]]i '''tuletis''' on [[matemaatiline analüüs|matemaatilise analüüsi]] üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse ''muutumise kiirust'' funktsiooni [[argument|argumendi]] muutumisel — täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte [[piirväärtus]] argumendi muudu lähenemisel nullile.
 
Ühe reaalarvulise parameetriga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni korral on selle funktsiooni tuletiseks mingil kohal selle [[funktsioon]]i [[graafik]]u [[puutuja]] [[tõus (matemaatika)|tõus]] sellel kohal.
 
[[Füüsika]]s on [[nihe|nihke]] tuletiseks aja järgi [[hetkkiirus]], kiiruse tuletiseks omakorda [[kiirendus]].
 
ÜheReaalarvulise reaalarvulise parameetrigaargumendiga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni korral on selle funktsiooni tuletiseks mingil kohal selle [[funktsioon]]i [[graafik]]u [[puutuja]] [[tõus (matemaatika)|tõus]] sellel kohal.
 
Matemaatilise analüüsi eeskujul on tuletise mõistet mitmel viisil üldistatud teistesse matemaatika valdkondadesse. Käesolev artikkel käsitleb põhiliselt reaal- või kompleksmuutuja funktsiooni tuletist matemaatilise analüüsi tähenduses; mõiste ''tuletis'' tähenduste kohta teistes matemaatika harudes vaata alajaotust [[#Üldistusi|Üldistusi]].
==Määratlus==
===Tuletis antud kohal===
Olgu <math>\mathbbantud K</math>reaalarvuliste kõigi reaalarvude või kõigi kompleksarvude hulk, s.t. <math>\mathbb K \in \{\mathbb R, \mathbb C\}</math>. Olgu antudväärtustega funktsioon <math>f : D \to \mathbb{KR}</math>, kusmääramispiirkonnaga <math>D \subsubset \mathbb{KR}</math>, ning olgureaalarv <math>x \in D</math>. Kui leidub (lõplik või lõpmatu) [[piirväärtus]] <math>\lim_{\Delta xh\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta xh)-f(x)}{\Delta xh}</math>, siis seda nimetatakse funktsiooni <math>f\,</math> '''tuletiseks kohal <math>x\,</math>''' ning tähistatakse sümboliga <math>f'(x)\,</math>.
 
Tavaliselt määratletakse funktsiooni tuletis vaid tema [[määramispiirkond|määramispiirkonna]] [[sisepunkt]]ides, s. t. eeltoodud definitsiooni lisatakse veel eeldus, et <math>x\,</math> on hulga <math>D\,</math> sisepunkt.
 
Kui funktsioonil <math>f\,</math> on lõplik tuletis kohal <math>x\,</math>, nimetatakse funktsiooni <math>f\,</math> '''diferentseeruvaks kohal <math>x\,</math>'''.
 
Samamoodi defineeritakse tuletis ja diferentseeruvus ka kompleksmuutuja funktsiooni korral, s. t. juhul <math>f : D \to \mathbb{C}</math>, kus <math>D \subset \mathbb{C}</math>.
 
===Tuletis kui funktsioon. Kõrgemat järku tuletised===
====Taylori valem====
{{vaata|Taylori valem}}
Lihtne näide Taylori teoreemist on [[eksponentfunktsioon]]i <math>e^x\,</math> lihtsustamine ligikaudseks ''x'' = 0 juures:
 
Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:
:<math> \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.</math>
 
:<math> f(x) =\approx f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n .</math>
Teoreemi täpne sõnastus on: kui ''n'' &ge; 0 on [[täisarv]] ja <math>f\,</math> on funktsioon, mis on ''n'' korda pidevalt diferentseeruv [[intervall (matemaatika)|suletud intervallil]] [''a'', ''x''] ja ''n''&nbsp;+&nbsp;1 korda diferentseeruv [[intervall (matemaatika)|avatud intervallil]] (''a'', ''x''), siis
 
Lihtne näide Taylori teoreemistvalemist on [[eksponentfunktsioon]]i <math>e^x\,</math> lihtsustamine ligikaudsekslähendamine ''x'' = 0 juures:
:<math> f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n </math>
 
:<math> \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.</math>
 
TeoreemiTaylori täpnevalemi sõnastusvea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse <math>f(x)</math> vahe) hindamiseks on: kuimitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt. Kui ''n'' &ge; 0 on [[täisarv]] ja <math>f\,</math> on funktsioon, mis on ''n'' korda pidevalt diferentseeruv [[intervalllõik (matemaatika)|suletud intervallillõigul]] [''a'', ''x''] ja ''n''&nbsp;+&nbsp;1 korda diferentseeruv [[intervallvahemik (matemaatika)|avatud intervallilvahemikus]] (''a'', ''x''), siis leidub arv <math>\xi \in (a, x)</math> nii, et
<math> f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}.</math>
 
====Funktsiooni uurimine====
 
Kui reaalmuutuja funktsiooni tuletis on positiivne mingis lõigus, siis funktsioon [[kasvav funktsioon|kasvab]] selles lõigus. Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon [[kahanev funktsioon|kahaneb]] antud lõigus. Funktsiooni tuletise [[nullkoht|nullkohad]] on funktsiooni lokaalseteks [[miinimum]]- ja [[maksimum]]kohtadeks.
 
Teine tuletis määrab funktsiooni graafiku "kõveruse": kui teine tuletis mingil kohal on nullist erinev, siis funktsiooni graafik asub antud punkti ümbruses selles punktis tõmmatud puutujast paremal või vasakul ("kõverdub" päripäeva või vastupäeva) ning esimese ja teise tuletise abil saab arvutada graafiku [[kõverusraadius]]e. Kui funktsiooni teine tuletis on mingis lõigus positiivne või negatiivne, siis funktsioon on antud lõigus vastavalt [[kumer funktsioon|kumer]] või [[nõgus funktsioon|nõgus]]. Graafiku punkte, kus funktsiooni teine tuletis on 0, nimetatakse [[käänupunkt]]ideks.
 
===Füüsika===
147

muudatust