Tuletis (matemaatika): erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
P r2.5.1) (robot kustutas: da:Differentialregning, de:Differentialrechnung |
Resümee puudub |
||
2. rida:
[[Funktsioon (matemaatika)|Funktsioon]]i '''tuletis''' on [[matemaatiline analüüs|matemaatilise analüüsi]] üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse ''muutumise kiirust'' funktsiooni [[argument|argumendi]] muutumisel — täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte [[piirväärtus]] argumendi muudu lähenemisel nullile.
Ühe reaalarvulise parameetriga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni korral on selle funktsiooni tuletiseks mingil kohal selle [[funktsioon]]i [[graafik]]u [[puutuja]] [[tõus (matemaatika)|tõus]] sellel kohal.▼
[[Füüsika]]s on [[nihe|nihke]] tuletiseks aja järgi [[hetkkiirus]], kiiruse tuletiseks omakorda [[kiirendus]].
▲
Matemaatilise analüüsi eeskujul on tuletise mõistet mitmel viisil üldistatud teistesse matemaatika valdkondadesse. Käesolev artikkel käsitleb põhiliselt reaal- või kompleksmuutuja funktsiooni tuletist matemaatilise analüüsi tähenduses; mõiste ''tuletis'' tähenduste kohta teistes matemaatika harudes vaata alajaotust [[#Üldistusi|Üldistusi]].
11. rida:
==Määratlus==
===Tuletis antud kohal===
Olgu
Tavaliselt määratletakse funktsiooni tuletis vaid tema [[määramispiirkond|määramispiirkonna]] [[sisepunkt]]ides, s. t. eeltoodud definitsiooni lisatakse veel eeldus, et <math>x\,</math> on hulga <math>D\,</math> sisepunkt.
Kui funktsioonil <math>f\,</math> on lõplik tuletis kohal <math>x\,</math>, nimetatakse funktsiooni <math>f\,</math> '''diferentseeruvaks kohal <math>x\,</math>'''.
Samamoodi defineeritakse tuletis ja diferentseeruvus ka kompleksmuutuja funktsiooni korral, s. t. juhul <math>f : D \to \mathbb{C}</math>, kus <math>D \subset \mathbb{C}</math>.
===Tuletis kui funktsioon. Kõrgemat järku tuletised===
69. rida ⟶ 71. rida:
====Taylori valem====
{{vaata|Taylori valem}}
Lihtne näide Taylori teoreemist on [[eksponentfunktsioon]]i <math>e^x\,</math> lihtsustamine ligikaudseks ''x'' = 0 juures:▼
Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:
:<math> \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.</math>▼
:<math> f(x)
Teoreemi täpne sõnastus on: kui ''n'' ≥ 0 on [[täisarv]] ja <math>f\,</math> on funktsioon, mis on ''n'' korda pidevalt diferentseeruv [[intervall (matemaatika)|suletud intervallil]] [''a'', ''x''] ja ''n'' + 1 korda diferentseeruv [[intervall (matemaatika)|avatud intervallil]] (''a'', ''x''), siis▼
▲Lihtne näide Taylori
▲:<math> f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n </math>
▲:<math> \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.</math>
▲
<math> f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}.</math>
====Funktsiooni uurimine====
Kui reaalmuutuja funktsiooni tuletis on positiivne mingis lõigus, siis funktsioon [[kasvav funktsioon|kasvab]] selles lõigus. Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon [[kahanev funktsioon|kahaneb]] antud lõigus. Funktsiooni tuletise [[nullkoht|nullkohad]] on funktsiooni lokaalseteks [[miinimum]]- ja [[maksimum]]kohtadeks.
Teine tuletis määrab funktsiooni graafiku "kõveruse": kui teine tuletis mingil kohal on nullist erinev, siis funktsiooni graafik asub antud punkti ümbruses selles punktis tõmmatud puutujast paremal või vasakul ("kõverdub" päripäeva või vastupäeva) ning esimese ja teise tuletise abil saab arvutada graafiku [[kõverusraadius]]e. Kui funktsiooni teine tuletis on mingis lõigus positiivne või negatiivne, siis funktsioon on antud lõigus vastavalt [[kumer funktsioon|kumer]] või [[nõgus funktsioon|nõgus]]. Graafiku punkte, kus funktsiooni teine tuletis on 0, nimetatakse [[käänupunkt]]ideks.
===Füüsika===
|