Erinevus lehekülje "Kompleksarv" redaktsioonide vahel

Kompleksarvude korpus on [[algebraliselt kinnine korpus|algebraliselt kinnine]]: mis tahes polünoom [[koefitsient]]idega kompleksarvude korpusest [[lineaarteguriteks lahutumine|lahutub lineaarteguriteks]]. Mis tahes polünoomil [[polünoomi aste|astmega]] ''n''≥1 on kompleksarvude korpuses vähemalt üks juur ([[d'Alemberti-Gaussi teoreem]]).
 
*==Ajalugu==
Teatud [[ruutvõrrand]]ite lahendamise võimatust märkis juba [[Muḩammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]], kes kirjutas sellest raamatus "[[Ḫisāb al-jabr wa-l-muqābalah]]" (umbes 825).
 
Imaginaarseid suurusi käsitles arvatavasti esimesena [[Gerolamo Cardano]] võrrandite lahendamist käsitleva teose "[[Ars magna, sive de regulis algebraicis]]" ([[1545]]) 37. peatükis. Ta ei mõistnud täielikult nende omadusi. [[Kuupvõrrand]]eid uurides lahendas ta järgmise ülesande: leida kaks arvu, mille summa on 10 ja mille korrutis on 40. Ülesanne taandub [[ruutvõrrand]]ile <math>x(10-x)=40</math> ehk <math>x^2-10x+40=0</math>. Ta märgib, et sel võrrandil lahendeid pole, kuid võtab siis ruutvõrrandi üldlahendi avaldise <math>x_{1,2} = - \frac{p}{2}\pm\sqrt{ \frac{p^2}{4} - q } </math> ning võtab ''p'' väärtuseks –10 ja ''q'' väärtuseks 40. Kui oleks võimalik anda tähendus avaldisele <math>\sqrt{25-40}</math> ehk <math>\sqrt{-15}</math> ning tohiks sellega arvutada tavaliste reeglite järgi, siis oleksid lahenditeks 5&nbsp;+&nbsp;&radic;<span style="text-decoration: overline">&minus;15</span> ja 5&nbsp;&minus;&nbsp;&radic;<span style="text-decoration: overline">&minus;15</span>. "Kui keegi ütleb: jaga 10 kaheks osaks, mille korrutis [...] on 40, siis on selge, et see juhtum on võimatu. Sellegipoolest toimime järgmiselt: jagame 10 kaheks võrdseks osaks, millest kumbki on 5. Need võtame ruutu, saame 25. Kui tahad, lahuta 40 äsja saadud 25-st [...]; nii saadud jääk on -15, selle ruutjuurt liidetuna 5-le või lahutatuna 5-st annab mõlemad osad korrutisega 40. Need on niisiis 5 + √-15 und 5 - √-15." Cardano nimetas seda arutluskäiku sofistlikuks, sest ta ei näinud sellel tähendust, kuid sellegipoolest tegi ta arvutuse, mis näitas, et nende korrutis on 40. Ta ei pidanud negatiivsete arvude ruutjuuri kasutamiskõlblikeks, vaid sofistlikeks suurusteks (''quantitas sophistica'') ning leidis, et saadud vastus on "sama peen kui kasutu".
 
Insener [[Rafael Bombelli]], kes [[Paavstiriik|Paavstiriigi]] teenistuses soid kuivendas, oli oma üldarusaadavas õpikus "[[L'algebra, parte maggiore dell'aritmetica]]" ([[1572]]) esimene, kes pidas niisuguseid arve kasulikuks. Ta rakendas neid kuupvõrrandite lahendamiseks "taandumatutel juhtumitel" (''casus irreducibilis''), kui reaalarvulised [[lahend]]id avalduvad imaginaarsete suuruste [[kuupjuur]]tena ning kuupvõrrandil on kolm erinevat reaalarvulist lahendit. Ta esitas ka lihtsamad reeglid imaginaarsete suurustega arvutamiseks. Bombelli uuris muu hulgas võrrandit ''x''³=15''x''+4. Oli teada, et 4 on selle võrrandi lahend, [[Cardano meetod]] aga andis lahendiks <math>\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}</math>. Bombelli püüdis nende avaldistega arvutada, ning leidis, et (2 + √-1)³ = 2 + 11·√-1 = 2 + √-121, seega lahend ''x'' = 2 + √-1 + 2 - √-1 = 4. Bombelli kasutas uut laadi juurte väljendamiseks termineid "miinuse pluss" (''più di meno''; s.o +''i'') ja "miinuse miinus" (''meno di meno''; s.o -''i''). Ta esitas nende kohta arvutusreeglid, mis on analoogsed reeglitega negatiivsete arvudega arvutamiseks, mis ise olid tollal kahtlased:
*"pluss" korda "miinuse pluss" on "miinuse pluss" (+1·+''i'' = +''i'')
*"miinus" korda "miinuse pluss" on "miinuse miinus" (-1·+''i'' = -''i'')
*"pluss" korda "miinuse miinus" on "miinuse miinus" (+1·-''i'' = -''i'')
*"miinus" korda "miinuse miinus" on "miinuse pluss" (-1·-''i'' = +''i'')
*"miinuse pluss" korda "miinuse pluss" on "miinus" (+''i''·+''i'' = -1)
*"miinuse pluss" korda "miinuse miinus" on "pluss" (+''i''·-''i'' = +1)
*"miinuse miinus" korda "miinuse pluss" on "pluss" (-''i''·+''i'' = +1)
*"miinuse miinus" korda "miinuse miinus" on "miinus" (-''i''·-''i'' = -1)
 
17. sajandi keskpaigas hakati ruutjuuri negatiivsetest arvudest ning üldisemalt kõiki suvalisest reaalarvust <math>\alpha</math> ja positiivsest arvust <math>\beta</math> kokku pandud arve <math>\alpha + \sqrt{-\beta}</math> oder <math>\alpha - \sqrt{-\beta}</math>
nimetama imaginaararvudeks (st "kujuteldavateks" arvudeks) ning "tavalisi" arve reaalarvudeks (st "tegelikeks" arvudeks). Selline vastandus esineb arvatavasti esmakordselt [[René Descartes]]i [[1637]] ilmunud raamatus "[[La Géométrie]]". Descartes oletas, et ''n''-astme võrrandil on alati ''n'' lahendit (kui pidada mitmekordseid lahendeid mitmeks lahendiks; [[algebra põhiteoreem]]). Osa neist lahendeist on ainult "kujuteldavad".
 
16. ja 17. sajandil hakati kompleksarve, mille imaginaarosa ei ole 0, nimetama imaginaarseteks avaldisteks. Paljud 17. sajandi teadlased pidasid imaginaarsete suuruste algebralist ja geomeetrilist olemust ebaselgeks või koguni saladuslikuks ja müstiliseks. [[Isaac Newton]] ei pidanud imaginaarseid suurusi arvudeks. [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] leidis: "Imaginaararvud on jumaliku vaimu kaunis ja imeline varjupaik, analüüsi ime, ideaalse maailma monstrum, peaaegu olemise amfiib mitteolemisega." Leibnizile avaldas sügavat muljet võrdus <math>\sqrt{1+\sqrt{-3}}+\sqrt{1-\sqrt{-3}}=\sqrt{6}</math>, mille ta leidis. [[2. veebruar]]il [[1702]] kirjutas ta oma avastusest [[Pierre Varignon]]ile ning kirjutas: "Kui ma juhtisin sellele kadunud [[Christiaan Huygens|härra H...]] tähelepanu, vastas ta mulle, et selles on midagi meile mõistetamatut."
 
[[Abraham de Moivre]] ja [[Roger Cotes]] lahendasid põhijoontes antud arvust [[n-astme juur|''n''-astme juur]]e võtmise probleemi. Moivre avastas ka valemi
 
:cos (n''α'') + ''i'' sin (n''α'') = (cos ''α'' + ''i'' sin ''α'')<sup>n</sup> ([[Moivre'i valem]]).
Imaginaarühiku ''i'' kui uue arvu kasutuselevõtt omistatakse [[Leonhard Euler]]ile. Temalt pärineb ka selle sümbol ''i''. Et imaginaararvudega arvutamine oli näinud pelga mänguna, oldi üllatunud, et see mäng andis väga sageli väärtuslikke tulemusi või võimaldas anda juba teada olevatele tulemustele rahuldavama kuju. Teoses "[[Introductio in analysin infinitorum]]" käsitles Euler teatud märkimisväärseid võrdusi, mis sisaldavad ainult reaalarve ning osutuvad eranditeta paikapidavateks, mida aga imaginaararve kasutamata on raske tõestada.
 
Imaginaarühiku ''i'' kui uue arvu kasutuselevõtt omistatakse [[Leonhard Euler]]ile. Temalt pärineb ka selle sümbol ''i''. Ta ei kasutanud seda järjekindlalt; see tähistus sai üldlevinuks tänu Gaussile. Et imaginaararvudega arvutamine oli näinud pelga mänguna, oldi üllatunud, et see mäng andis väga sageli väärtuslikke tulemusi või võimaldas anda juba teada olevatele tulemustele rahuldavama kuju. Teoses "[[Introductio in analysin infinitorum]]" käsitles Euler teatud märkimisväärseid võrdusi, mis sisaldavad ainult reaalarve ning osutuvad eranditeta paikapidavateks, mida aga imaginaararve kasutamata on raske tõestada.
 
Astmeridasid kasutades jõudis Euler võrrandini
 
: e<sup>''ix''</sup> = cos ''x'' + ''i'' sin ''x''.
 
[[Jean le Rond d'Alembert]] väitis [[1747]] sisuliselt kompleksarvude korpuse algebralisest kinnisusest, Euler rääkis sellest [[1751]]. Esmakordselt tõestas selle rangelt [[Carl Friedrich Gauss]].
 
Imaginaararvudega hakati üha rohkem tegelema. Siiski peeti seda valdkonda veel salapäraseks, mõistatuslikuks ja ebarahuldavaks. Alles norra-taani maamõõtja [[Caspar Wessel]] sillutas [[1797]] ilmunud traktaadis "[[Essai sur la représentation analytique de la direction]]" teed nende arvude mõistmisele, esitades kompleksarvude ning nendega sooritatavate tehete täieliku geomeetrilise tõlgenduse. Ent see töö, mille ta esitas [[Taani akadeemialeKuninglik Teaduste Akadeemia|Taani Kuninglikule Teaduste Akadeemiale]], jäi algul tähelepanuta. Sama juhtus teiste matemaatikute töödega, nii et asjaga tuli mitu korda otsast alustada. Aastatel 1806 ja 1814 avaldas [[Jean-Robert Argand]] tööd, milles ta põhiliselt kordas sõltumatult Wesseli järeldusi. Tema geomeetrilist esitust nimetatakse [[Argandi diagramm]]iks.
 
[[Augustin Louis Cauchy]] defineeris [[1821]] ilmunud õpikus "[[Cours d'analyse]]" esimesena [[kompleksmuutuja funktsioon]]i ja tõestas palju olulisi [[kompleksmuutuja funktsiooniteooria]] teoreeme.