Fabritseeritud lahendite meetod: erinevus redaktsioonide vahel
Uus lehekülg: 'Fabritseeritud lahendite meetod (ingl ''Method of Manufactured Solutions'') on metodoloogia osatuletistega differentsiaalvõrrandite süsteemi analüütiliste lahendite leidmiseks. ...' |
(Erinevus puudub)
|
Redaktsioon: 29. märts 2010, kell 09:11
Fabritseeritud lahendite meetod (ingl Method of Manufactured Solutions) on metodoloogia osatuletistega differentsiaalvõrrandite süsteemi analüütiliste lahendite leidmiseks. Fabritseeritud lahendite meetodit kasutatakse differentsiaalvõrrandite süsteeme lahendavate numbriliste algoritmide verifitseeriminel.[1]
Differentsiaalvõrrandite numbriliste lahendajate verifitseerimine
Osatuletistega differentsiaalvõrrandisüsteemide numbriline lahendamine arvutiprogrammide abil on tänapäevaste teadusarvutuste oluline osa. Sealjuures on oluline kontrollida, kas kasutatav numbriline algoritm on korrektselt implementeeritud. Viimane tegevus nõuab omakorda teadaolevalt korrektset, analüütilisel kujul lahendit. Selle leidmine praktikas esilekerkivate keerulisemate võrrandite, määramispiirkondade ning ääretingimuste korral ei pruugi võrrandit "toore jõuga" lahendades võimalikuks osutuda. Sümmeetrilistest erijuhtudest tuletatud analüütilised lahendid võivad sealjuures jätta tuvastamata olulisi koodis esinevaid vigu.[2]
Fabritseeritud lahendite meetod lahendab "lahendi leidmise probleemi", fikseerides lahendi ning leides seejärel viimase jaoks sobiva, kuid algse ülesandega piisavalt sarnase differentsiaalvõrrandi. Meetodi kasutamine reaalse arvutiprogrammi puhul võib seega nõuda väiksemaid muudatusi programmi koodis, tõstes seevastu oluliselt hinnangut koodi (matemaatilise) korrektsuse osas.
Meetodi krirjeldus
Fabritseeritud lahendite meetodi idee võib esitada järgmiselt.[1] Olgu meil differentsiaalvõrrand kujul
millele otsitakse numbriliselt korrektset, kuid mitte ilmtingimata sisulise (füüsikalise) tähendusega lahendit . Selleks valime differentsiaalvõrrandi operaatori asemele viimasega sarnase operaatori nii, et eelnevalt valitud lahend oleks saadud differentsiaalvõrrandi lahendiks:
Lihtsaim viis leidmiseks on teisendus:
kus
Ääre- ja algtingimused määratakse fabritseeritud lahendi pidevust arvestades.
Näide lahendi fabritseerimisest diffusioonivõrrandile
Näitena vaatleme meetodi rakendamist ajast sõltumatu kahemõõtmelise diffusioonivõrrandi lahendamisele Jacobi iteratsioonimeetodiga. Valime fabritseeritud lahendiks . Differentsiaalvõrrandi operaatoriks on
seega
Seega on funktsioon järgmise differentsiaalvõrrandi lahendiks.
Kui ruudukujulistest elementidest küljepikkusega koosneval võrel Jacobi meetodiga algset differentsiaalvõrrandit lahendav iteratsioonireegel on järgmine:
siis fabritseeritud lahendite meetodi kasutamiseks tuleb iteratsioonireeglisse lisada jääkliige
Fabritseeritud lahendiga testimisel seatakse jääkliikme väärtuseks , algset ülesannet lahendades seevastu .
Viited
- ↑ 1,0 1,1 Patrick J. Roache. Building PDE Codes to be Verifiable and Validatable. Computing in Science and Engineering, vol. 6, no. 5, pp. 30-38, Sep./Oct. 2004, doi:10.1109/MCSE.2004.33
- ↑ Kambiz Salari and Patrick Knupp. Code Verification by the Method of Manufactured Solutions. Technical report. Sandia National Laboratories, June 2000.