Erinevus lehekülje "Aritmeetiline jada" redaktsioonide vahel

resümee puudub
'''Aritmeetiline jada''' ehk '''aritmeetiline progressioon''' on [[jada]], milles iga liikme ja sellele eelneva liikme vahe on konstantne. Seda konstanti nimetatakse ''artimeetilise jada vaheks''.
 
== Aritmeetilise jada üldliige ==avaldub kujul
Konstantset arvu a<sub>n</sub> – a<sub>n–1</sub> nimetatakse aritmeetilise jada vaheks ja tähistatakse tähega d. Seega a<sub>n</sub> = a<sub>n–1</sub> + d, iga n > 1 korral.
: <math>a_n = a_0 + n d, \,</math>
kus a_0 on aritmeetilise jada esimene element ehk '''algliige''' ja d on arimteetilise jada ''vahe''.
 
Kõik aritmeetilised jadad, kus d ≠ 0, on [[tõkestamata jadadjada]]d. Kui d > 0, siis n → ∞ korral a<sub>n</sub> → ∞. Kui d < 0, siis n → ∞ korral a<sub>n</sub> → –∞.
Jada 7, 12, 17, 22, ..., 5n + 2, ... on aritmeetiline jada, sest 12 – 5 = 17 – 12 = 22 – 17 = ... = 5. Selle jada vahe d = 5.
 
== Näited ==
Kõik aritmeetilised jadad, kus d ≠ 0, on tõkestamata jadad. Kui d > 0, siis n → ∞ korral a<sub>n</sub> → ∞. Kui d < 0, siis n → ∞ korral a<sub>n</sub> → –∞.
 
Jada (7, 12, 17, 22, ..., 5n + 27, ...) on aritmeetiline jada, sestalgliikmega 12 – 5<math>a_0</math> =7 17 – 12 = 22 – 17 = ... = 5. Selle jadaja vahevahega d = 5.
== Aritmeetilise jada üldliige ==
 
Kui on teada aritmeetilise jada esimene liige a<sub>1</sub> ja jada vahe d, siis on võimalik leida jada mis tahes liiget:
== Aritmeetilise jada ''n'' esimese liikme summa ==
* a<sub>2</sub> = a<sub>1</sub> + d;
 
* a<sub>3</sub> = a<sub>2</sub> + d = a<sub>1</sub> + d + d = a<sub>1</sub> + 2d;
Aritmeetilise jada ''n'' esimese liikme summa avaldub kujul
ehk üldiselt a<sub>n</sub> = a<sub>1</sub> + (n-1)d.
:<math>S_n = a_0 + a_1 + ... + a_{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (a_0 + d k) = n (a_0 + d \frac{n-1}{2}) </math>.
 
=== Tõestus ===
 
Tõestuseks võib konstrueerida järgmise summa
:<math>2S_n = (a_0 + a_{n-1}) + (a_1 + a_{n-2}) + ... + (a_{n-1} + a_1). \, </math>
Asendades viimasesse avaldisse pealiikme valemi saame summa
: <math>2S_n = \sum_{k=0}^{n-1} (a_0 + d k + a_0 + d (n - 1 - k)) = \sum_{k=0}^{n-1} (2a_0 + d (n - 1)) = n (2a_0 + d (n - 1)). </math>
Võrduse poolte jagamine kahega annabki aritmeetilise jada ''n'' esimese liikme summa valemi.
 
==Vaata ka==
 
*[[Geomeetriline jada]]
 
[[Kategooria:Matemaatika]]
 
[[az:Ədədi silsilə]]
[[bs:Aritmetička progresija]]
[[bg:Аритметична прогресия]]
[[ca:Progressió aritmètica]]
[[cs:Aritmetická posloupnost]]
[[da:Differensrække]]
[[de:Arithmetische Reihe]]
[[en:Arithmetic progression]]
[[es:Progresión aritmética]]
[[eo:Aritmetika vico]]
[[eu:Serie aritmetiko]]
[[fa:تصاعد حسابی]]
[[fr:Suite arithmétique]]
[[ko:등차수열]]
[[hr:Aritmetički niz]]
[[it:Progressione aritmetica]]
[[he:סדרה חשבונית]]
[[ka:არითმეტიკული პროგრესია]]
[[lt:Aritmetinė progresija]]
[[hu:Számtani sorozat]]
[[mk:Аритметичка прогресија]]
[[nl:Rekenkundige rij]]
[[ja:等差数列]]
[[pms:Progression aritmética]]
[[pl:Ciąg arytmetyczny]]
[[pt:Progressão aritmética]]
[[ro:Progresie (matematică)]]
[[ru:Арифметическая прогрессия]]
[[sk:Aritmetická postupnosť]]
[[sl:Aritmetično zaporedje]]
[[fi:Aritmeettinen sarja]]
[[sv:Aritmetisk följd]]
[[th:การก้าวหน้าเลขคณิต]]
[[uk:Арифметична прогресія]]
[[vi:Cấp số cộng]]
[[zh:等差数列]]
4520

muudatust