Erinevus lehekülje "Korpus (matemaatika)" redaktsioonide vahel

parandusi ja täpsustusi
P
 
(parandusi ja täpsustusi)
Olgu ''K'' mingi [[hulk]], mis sisaldab vähemalt kaks elementi.   Olgu ''K''-s määratud ka kaks arvutustehet, mida tähistatakse kas või pluss- ja korrutusmärgiga (+ ja ·).   See tähendab, et "+" määrabseab igatigale kahtkahele ''K'' elementielemendile ''x'' ja ''y'' vastamavastavusse ühe teatudkindla ''K'' elemendi, mida nimetatakse ''x'' ja ''y'' summaks ning tähistatakse ''x+y''-ga; samuti määrabseab "·" neidneile kahtkahele elementielemendile vastamavastavusse ühe ''K'' elemendi, mida kutsutaksenimetatakse ''x'' ja ''y'' korrutiseks ning tähistatakse ''x·y''-ga (või lihtsamalt ''xy''-ga).
 
Selline hulk ''K'' oma kahe arvutustehtega on '''korpus''', kui sellel on kõik järgmised omadused:
 
1. ''x''+(''y+z'') = (''x+y'')+''z''   alati   (+-i assitsiatiivsus ehk ühenduvus)
 
2. ''K''-st leidub sihukeneselline element 0, et alati kehtib   0+''x = x''
 
3. Igal elemendil ''x'' on ''K''-s oma "vastandelement" −''x'' nii, et   −''x+x'' = 0
 
4. ''x+y = y+x''   alati   (+-i kommutatiivsus ehk vahetuvus)
 
5. ''x''·(''y+z'') = ''x''·''y''+''x''·''z''   alati   (I distributiivsus ehk jaotuvus)
 
6. ''x''·(''y''·''z'') = (''x''·''y'')·''z''   alati   (·-i assotsiatiivsus ehk ühenduvus)
 
7. ''K''-st leidub teinegi eriline element 1 nii, et alati kehtib   1·''x = x''
 
8. Igal elemendil ''x'' peale 0-i on ''K''-s oma "pöördelement" ''x''´ nii, et   ''x''´·''x'' = 1
 
9. ''x''·''y'' = ''y''·''x''   alati   (·-i kommutatiivsus ehk vahetuvus)
 
Ehkki nimetused (liitmine, korrutamine, summa, korrutis) annavadtekitavad kujutluse, et korpuses mängitakse arvudega, nii asi ei ole asi vältimatult nii − elemendidelementideks võivad olla muidgimuudki mõisteidobjektid kuipeale arvearvude.   Nulliga (0) tähistatud elemendil ei tarvitse olla "õige null", kuid see on vaid liitmises mõjumatu element (+-i neutraalelement); samuti on ühega (1) tähistatud vaid korrutamises mõjumatu element (·-i neutraalelement).
 
Siit küllSellest ei pääse kuhugiküll mööda, et nood üheksa omadust on just neidneed, mis tuntultme onteame olevat arvudel.   MeieMeile tuntud harilikud arvud, kas või arvusirge kõik reaalarvud, moodustavad niisiis korpuse.
 
Et kõik korpused ei koostukoosne arvudest, nähaksenähtub järgnevast näitest.   Siin on elemendidekselementideks ainult kaks sõna(!), ''paarilinepaaris'' ja ''paaritu''.   ElementhulkElementide hulk ''K'' on niisiis väga väike: {''paarilinepaaris, paaritu''}.   Kas võidakse sõnadega saab sooritada tehteid?   VõidakseSaab küll, kui lepitakse kokku leppidakse näiteks järgmised tulemused:
 
''paarilinepaaris''+paariline''paaris'' = paariline''paaris'',   ''paarilinepaaris''·''paarilinepaaris'' = paariline''paaris''
 
''paaritu''+''paaritu'' = paariline''paaris'',   ''paaritu''·''paaritu'' = ''paaritu''
 
''paarilinepaaris''+''paaritu'' = ''paaritu'',   ''paarilinepaaris''·''paaritu'' = paariline''paaris''
 
''paaritu''+paariline''paaris'' = ''paaritu'',   ''paaritu''·''paarilinepaaris'' = paariline''paaris''
 
Kõik võmalikud arvutused saadaksesaavad sooritatud, egaja tulemused ei tunnutundu sugugi olevat rumalad!   Pannakse tähelePandagu eriti tähele, et ''paarilinepaaris''+''x = x'', olgu ''x'' kumb tahes, ja   ''paaritu''·''x = x'', olgu ''x'' kumb tahes.   NiimoodiSeega vastab ''paariline'' 2. punkti "nullelemendile" 0 ja ''paaritu'' 7. punkti "ühikelemendile" 1.   Ka iga muugi punkti kehtivus võidakse üksikasjalikult tõendada hulgasHulgas ''K'' = {''paarilinepaaris'', ''paaritu''} = {0, 1}, mis on niisiisvõimalik korpus.tõestada Seeka korpuskõikide ongiteiste võimalikultpunktide väikekehtivust. Järelikult on tegemist korpusega. See korpus kuulub lõplikutesselõplike korpustessekorpuste ehk '''Galois’ korpustessekorpuste''' sekka.   Pange muide tähele, et selles korpuses on 1+1 = 0; seal pole olemas migagimingit "kahtkahte"!