Korpus (matemaatika): erinevus redaktsioonide vahel

Eemaldatud sisu Lisatud sisu
PResümee puudub
(Erinevus puudub)

Redaktsioon: 18. märts 2003, kell 17:15

Olgu K mingi hulk, mis sisaldab vähemalt kaks elementi.   Olgu K-s määratud ka kaks arvutustehet, mida tähistatakse kas või pluss- ja korrutusmärgiga (+ ja ·).   See tähendab, et "+" määrab igat kaht K elementi x ja y vastama ühe teatud K elemendi, mida nimetatakse x ja y summaks ning tähistatakse x+y-ga; samuti määrab "·" neid kaht elementi vastama ühe K elemendi, mida kutsutakse x ja y korrutiseks ning tähistatakse x·y-ga (või lihtsamalt xy-ga).

Selline hulk K oma kahe arvutustehtega on korpus, kui sellel on kõik järgmised omadused:

1. x+(y+z) = (x+y)+z   alati   (+-i ühenduvus)

2. K-st leidub sihukene element 0, et alati kehtib   0+x = x

3. Igal elemendil x on K-s oma "vastandelement" −x nii, et   −x+x = 0

4. x+y = y+x   alati   (+-i vahetuvus)

5. x·(y+z) = x·y+x·z   alati   (I jaotuvus)

6. x·(y·z) = (x·yz   alati   (·-i ühenduvus)

7. K-st leidub teinegi eriline element 1, et alati kehtib   1·x = x

8. Igal elemendil x peale 0-i on K-s oma "pöördelement" x´ nii, et   x´·x = 1

9. x·y = y·x   alati   (·-i vahetuvus)

Ehkki nimetused (liitmine, korrutamine, summa, korrutis) annavad kujutluse, et korpuses mängitakse arvudega, nii asi ei ole vältimatult nii − elemendid võivad olla muidgi mõisteid kui arve.   Nulliga (0) tähistatud elemendil ei tarvitse olla "õige null", kuid see on vaid liitmises mõjumatu element (+-i neutraalelement); samuti on ühega (1) tähistatud vaid korrutamises mõjumatu element (·-i neutraalelement).

Siit küll ei pääse kuhugi, et nood üheksa omadust on just neid mis tuntult on arvudel.   Meie tuntud harilikud arvud, kas või arvusirge kõik reaalarvud, moodustavad niisiis korpuse.

Et kõik korpused ei koostu arvudest, nähakse järgnevast näitest.   Siin on elemendideks ainult kaks sõna(!), paariline ja paaritu.   Elementhulk K on niisiis väga väike: {paariline, paaritu}.   Kas võidakse sõnadega sooritada tehteid?   Võidakse küll, kui kokku leppidakse näiteks järgmised tulemused:

paariline+paariline = paariline,   paariline·paariline = paariline

paaritu+paaritu = paariline,   paaritu·paaritu = paaritu

paariline+paaritu = paaritu,   paariline·paaritu = paariline

paaritu+paariline = paaritu,   paaritu·paariline = paariline

Kõik võmalikud arvutused saadakse sooritatud, ega tulemused ei tunnu sugugi olevat rumalad!   Pannakse tähele eriti, et paariline+x = x, olgu x kumb tahes, ja   paaritu·x = x, olgu x kumb tahes.   Niimoodi vastab paariline 2. punkti "nullelemendile" 0 ja paaritu 7. punkti "ühikelemendile" 1.   Ka iga muugi punkti kehtivus võidakse üksikasjalikult tõendada hulgas K = {paariline, paaritu} = {0, 1}, mis on niisiis korpus. See korpus ongi võimalikult väike. See kuulub lõplikutesse korpustesse ehk Galois’ korpustesse.   Pange muide tähele, et selles korpuses on 1+1 = 0; seal pole olemas migagi "kaht"!