|
#REDIRECT[[maatriksi transponeerimine]]
{{ToimetaAeg|kuu=september|aasta=2007}}
[[Lineaaralgebras]] nimetatakse [[maatriks]]i ''A'' '''transponeeritud maatriksiks''' ''A''<sup>T</sup> (või ''A''<sup>tr</sup>, <sup>t</sup>''A'' või ''A''′) maatriksit, mis saadakse, kui uue maatriksi [[maatriksi rida|rida]]deks võetakse vana maatriksi [[veerg|veerud]] ja uue maatriksi veergudeks vana maatriksi read. Maatriksi teisendamist selle maatriksi transponeeritud maatriksiks nimetatakse '''maatriksi transponeerimiseks'''.
=Formaalne definitsioon=
''m''×''n''-maatriksi (''m'' rea ja ''n'' veeruga maatriksi) '''transponeeritud maatriks''' on ''n''×''m''-maatriks (''n'' rea ja ''m'' veeruga maatriks)
:<math>A^\mathrm{T}_{ij} = A_{ji}</math>, kus <math> 1 \le i \le n,</math> <math>1 \le j \le m.</math>
= Näited =
*<math>\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4 \end{bmatrix}
</math>
* <math>
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;
</math>
= Omadused =
Kui ''A'' ja ''B'' on [[maatriks|maatriksid]] ja ''c'' on [[skalaar]], siis:
== 1 ==
<math>\left( A^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = A \quad \,</math>
: Transponeerimine on iseenda [[pöördfunktsioon]].
=== Tõestus: ===
Kui <math>
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}</math>
, siis
<math>
\left(
A^\mathrm{T}
\right) ^\mathrm{T}
=
\left(
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}^\mathrm{T}
\right) ^\mathrm{T}
=
\left(
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1} \\
a_{13} & a_{22} & \ldots & a_{m2} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}
\right) ^\mathrm{T}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}=A \;
</math>
== 2 ==
<math>(A+B) ^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T} \,</math>
: Transponeerimine on [[lineaarne operaator]] kõikide ''m''×''n''-maatriksite [[vektorruum|ruum]]ist kõikide ''n''×''m''-maatriksite ruumi.
----
=== Tõestus ===
Kui <math>
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}</math>
ja <math>
B=
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn} \\
\end{bmatrix}</math>
, siis
<math>(A+B) ^\mathrm{T} =
\left(
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn} \\
\end{bmatrix}
\right) ^\mathrm{T}</math>
<math>
=
\begin{bmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \ldots & a_{1n}+b_{1n} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \ldots &a_{2n}+b_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \ldots & a_{mn}+b_{mn} \\
\end{bmatrix} ^\mathrm{T}
=
\begin{bmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{21}+b_{21} & \ldots & a_{m1}+b_{m1} \\
a_{12}+b_{12} & a_{22}+b_{22} & \ldots & a_{m2}+b_{m2} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{1n}+b_{1n} & a_{2n}+b_{2n} & \ldots & a_{mn}+b_{mn} \\
\end{bmatrix} \;
</math>
<math>
A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}^\mathrm{T}
+
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn} \\
\end{bmatrix}^\mathrm{T}</math>
<math>
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1} \\
a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{m2} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{21} & \ldots & b_{m1} \\
b_{12} & b_{22} & \ldots & b_{m2} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
b_{1n} & b_{2n} & \ldots & b_{mn} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{21}+b_{21} & \ldots & a_{m1}+b_{m1} \\
a_{12}+b_{12} & a_{22}+b_{22} & \ldots & a_{m2}+b_{m2} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{1n}+b_{1n} & a_{2n}+b_{2n} & \ldots & a_{mn}+b_{mn} \\
\end{bmatrix} \;
</math>
== 3 ==
<math>\left( A B \right) ^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T} \,</math>
:[[Maatriksite korrutamine|Maatriksite korrutamisel]] pöördub [[tegur]]ite järjekord ümber. Sellest võib järeldada, et [[ruutmaatriks]] ''A'' on [[pööratav maatriks|pööratav]] [[siis ja ainult siis, kui]] ''A''<sup>T</sup> on pööratav ja (''A''<sup>−1</sup>)<sup>T</sup> = (''A''<sup>T</sup>)<sup>−1</sup>. Seda tulemust saab üldistada mitme maatriksi korrutisele: (''ABC...XYZ'')<sup>T</sup> = ''Z''<sup>T</sup>''Y''<sup>T</sup>''X''<sup>T</sup>...''C''<sup>T</sup>''B''<sup>T</sup>''A''<sup>T</sup>.
=== Tõestus ===
Kui <math>
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
\end{bmatrix}</math>
ja <math>
B=
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22} \\
b_{31} & b_{32}
\end{bmatrix}</math>
, siis
<math>
\left( A B \right) ^\mathrm{T}
=
\left(
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22} \\
b_{31} & b_{32}
\end{bmatrix}
\right) ^\mathrm{T}</math>
<math>
=
\begin{bmatrix}
a_{11}*b_{11}+a_{12}*b_{21}+a_{13}*b_{31} & a_{11}*b_{12}+a_{12}*b_{22}+a_{13}*b_{32} \\
a_{21}*b_{11}+a_{22}*b_{21}+a_{23}*b_{31} & a_{21}*b_{12}+a_{22}*b_{22}+a_{23}*b_{32} \\
\end{bmatrix}^\mathrm{T}
</math>
<math>
=
\begin{bmatrix}
a_{11}*b_{11}+a_{12}*b_{21}+a_{13}*b_{31} & a_{21}*b_{11}+a_{22}*b_{21}+a_{23}*b_{31} \\
a_{11}*b_{12}+a_{12}*b_{22}+a_{13}*b_{32} & a_{21}*b_{12}+a_{22}*b_{22}+a_{23}*b_{32} \\
\end{bmatrix}
</math>
<math>
B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}
=
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22} \\
b_{31} & b_{32}
\end{bmatrix}^\mathrm{T}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
\end{bmatrix}^\mathrm{T}
=
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{21} & b_{31}\\
b_{12} & b_{22} & b_{32} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} \\
a_{12} & a_{22} \\
a_{13} & a_{23}
\end{bmatrix}</math>
<math>
=
\begin{bmatrix}
a_{11}*b_{11}+a_{12}*b_{21}+a_{13}*b_{31} & a_{21}*b_{11}+a_{22}*b_{21}+a_{23}*b_{31} \\
a_{11}*b_{12}+a_{12}*b_{22}+a_{13}*b_{32} & a_{21}*b_{12}+a_{22}*b_{22}+a_{23}*b_{32} \\
\end{bmatrix}
</math>
== 4 ==
<math>(c A)^\mathrm{T} = c A^\mathrm{T} \,</math>
:Transponeerimine jätab [[skalaar]]i muutmata.
=== Tõestus ===
Kui <math>A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}</math>
, siis
<math>
(c A)^\mathrm{T} =
\left(
c
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}
\right) ^\mathrm{T}
=
\begin{bmatrix}
c*a_{11} & c*a_{12} & \ldots & c*a_{1n} \\
c*a_{21} & c*a_{22} & \ldots & c*a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
c*a_{m1} & c*a_{m2} & \ldots & c*a_{mn} \\
\end{bmatrix}^\mathrm{T}
=
\begin{bmatrix}
c*a_{11} & c*a_{21} & \ldots & c*a_{m1} \\
c*a_{12} & c*a_{22} & \ldots & c*a_{m2} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
c*a_{1n} & c*a_{2n} & \ldots & c*a_{mn} \\
\end{bmatrix}
</math>
<math>
c A^\mathrm{T} =
c
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\
\end{bmatrix} ^\mathrm{T}
=
c
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1} \\
a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{m2} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
c*a_{11} & c*a_{21} & \ldots & c*a_{m1} \\
c*a_{12} & c*a_{22} & \ldots & c*a_{m2} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
c*a_{1n} & c*a_{2n} & \ldots & c*a_{mn} \\
\end{bmatrix}
</math>
== 5==
<math>\det(A^\mathrm{T}) = \det(A) \,</math>
:Maatriksi transponeerimisel [[determinant]] ei muutu.
== 6 ==
<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},</math>
== 7 ==
Kui maatriksi ''A'' kõik elemendid on reaalarvud, siis ''A''<sup>T</sup>''A'' on [[positiivne osaliselt määratud maatriks]].
== 8 ==
Kui maatriksi ''A'' elemendid on [[korpus (matemaatika)|korpus]]e elemendid, siis ''A'' ja ''A''<sup>T</sup> on [[sarnased maatriksid]].
== 9 ==
<math>(A^\mathrm{T})^{-1} = (A^{-1})^\mathrm{T} \,</math>
: Pööratava maatriksi ''A'' pöördmaatriksi transponeeritud maatriks on võrdne maatriksi ''A'' transponeeritud maatriksi pöördmaatriksiga.
</ol>
= Rakendus =
== C++ mall ==
<source lang="cpp">
#include <vector>
using namespace std;
template<class tyyp> void xorVahetus(tyyp& x, tyyp& y){
if (x != y) {
*x ^= *y;
*y ^= *x;
*x ^= *y;
}
}
template<class tyyp> void Transponeeri(vector< vector<tyyp> >& m){
tyyp s = m.size();
for(tyyp i = 0;i < s; ++i){
for(tyyp j = 0; j < i; ++j){
xorVahetus(m[i][j],m[j][i]);
}
}
}
</source>
= Vaata ka =
* [[Maatriks]]
* [[Ruutmaatriks]]
* [[Skalaar]]
* [[Determinant]]
* [[Ühikmaatriks]]
* [[XOR_vahetus_algoritm]]
= Välislingid =
*[http://video.google.com/videoplay?docid=3694395270844955061 MIT Video Loeng Maatriksite transponeerimise kohta] Google Video'des
[[Category:Lineaaralgebra]]
[[Category:Matemaatika]]
[[ca:Matriu transposada]]
[[cs:Transpozice matice]]
[[da:Transponering (matematik)]]
[[de:Matrix (Mathematik)#Die transponierte Matrix]]
[[en:Transpose]]
[[es:Matriz transpuesta]]
[[eo:Transpono]]
[[eu:Matrize irauli]]
[[fr:Matrice transposée]]
[[ko:전치행렬]]
[[is:Bylting fylkis]]
[[it:Matrice trasposta]]
[[he:מטריצה משוחלפת]]
[[nl:Getransponeerde matrix]]
[[ja:転置行列]]
[[pl:Macierz transponowana]]
[[pt:Matriz transposta]]
[[ru:Транспонированная матрица]]
[[fi:Transpoosi]]
[[sv:Transponat]]
[[th:เมทริกซ์สลับเปลี่ยน]]
[[vi:Ma trận chuyển vị]]
[[uk:Транспонована матриця]]
[[ur:پلٹ (میٹرکس)]]
[[zh:转置矩阵]]
| 