Võimsus (hulgateooria): erinevus redaktsioonide vahel
Eemaldatud sisu Lisatud sisu
lisa |
lisa |
||
28. rida:
Võib küsida, kas lõik lõpmatud hulgad on omavahel võrdvõimsad. Juhul kui see oleks nii, oleksid kõik lõpmatud hulgad loenduvad. Selgub aga, et on lõpmatuid hulki, mis ei ole omavahel võrdvõimsad. Näiteks ei ole [[naturaalarvude hulk]] võrdvõimas [[reaalarvude hulk|reaalarvude hulgaga]]. Et reaalarvude hulk on [[mitteloenduv hulk|mitteloenduv]], seda saab tõestada [[Cantori diagonaaltõestus]]e abil.
Allpool näitame, et erinevaid kardinaalarve on lõpmata palju.
[[Täieliku järjestuse teoreem|Täieliku järjestuse teoreemi]] kohaselt saab iga kardinaalarvu samastada vähima temaga võrdvõimsa ordinaalarvuga, sest iga hulk võrdvõimas mingi [[ordinaalarv]]uga.
==Võimsuste võrdlus==
Selleks et omavahel mittevõrdvõimsaid hulki siiski võrrelda saaks, määratakse kindlaks, millal hulk ''B'' on võimsam kui hulk ''A'':
:Kui on olemas bijektsioon ''f'' hulgalt ''A'' hulga ''B'' ''[[alamhulk|alamhulgale]]'' ''B'', siis öeldakse, et hulk ''A'' on hulgaga ''B'' võrdvõimas või sellest vähem võimas. Seda märgitakse üles nii: |''A''| <= |''B''|.
:Kui on olemas bijektsioon ''f'' hulgalt ''A'' hulga ''B'' alamhulgale, kuid ei leidu bijektsiooni hulgalt ''A'' hulgale ''B'', siis öeldakse, et ''A'' on vähem võimas kui ''B'' ja ''B'' on võimsam kui ''A''. Seda märgitakse üles nii: |''A''| < |''B''|.
On ilmne, et |''A''| < |''B''| [[parajasti siis, kui]] |''A''| <= |''B''|, kuid mitte |''A''| = |''B''|.
Et [[naturaalarvude hulk]] moodustab [[reaalarvude hulk|reaalarvude hulga]] [[alamhulk|alamhulga]], siis:
: <math> \mathbb{R}</math> on võimsam kui <math> \mathbb{N}</math>, ''c'' := |<math> \mathbb{R}</math>| > |<math> \mathbb{N}</math>|.<br>
Saab näidata, et <math> \mathbb{R}</math> on võrdvõimas hulga <math> \mathbb{N}</math> [[potentshulk|potentshulgaga]].
Saab näidata, et naturaalarvude hulgast vähem võimas hulk on lõplik. Samuti saab näidata, et igal lõpmatul hulgal on alamhulk, mis on võrdvõimas hulgaga <math> \mathbb{N}</math>.
Seega on hulga <math> \mathbb{N}</math> võimsus vähim lõpmatu kardinaalarv. Selle tähis on '''aleph<sub>0</sub>''':
:<math>\aleph_0 := |\mathbb{N}|</math>.
[[Kontinuumhüpotees]] (CH) ütleb, et ei leidu hulka, mis oleks võimsam kui <math> \mathbb{N}</math>, kuid vähem võimas kui <math> \mathbb{R}</math>. Tegemist ei ole [[teoreem]]iga. Tavaliste hulgateooria aksiomaatikate (näiteks [[Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika]] koos [[valikuaksioom]]iga) puhul ei saa aksioomidest tuletada ei kontiinuumhüpoteesi ega selle eitust.
Eeldusel, et kontiinuumhüpotees on tõene, defineeritakse <math>\aleph_1</math> hulga <math> \mathbb{R}</math> võimsusena. See kardinaalarv on võimsuselt järgmine <math>\aleph_0</math> järel.
Sel juhul kehtib:
:<math>c = 2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>.
[[de:Mächtigkeit]]
| |||