Ava peamenüü
Disambig gray.svg  See artikkel räägib loogikatehtest; sõna teiste tähenduste kohta vaata lehekülge Disjunktsioon (täpsustus).

Tehte Venni diagramm
Tehte Venni diagramm

Disjunktsioon ehk loogiline liitmine on binaarne loogikatehe: lausete A ja B disjunktsioon AB loetakse vääraks parajasti siis, kui laused A ja B on mõlemad väärad ning tõeseks kõigil muudel juhtudel.

Loogiline liitmine ehk või-tehe on Boole'i algebras selline tehe, mille väärtus on üks siis, kui kas või üks argumentidest võrdub ühega. Või tehte tähistamiseks kasutatakse kas pluss (+) märki või loogilise liitmise eritähist – V-tähe kujulist märki .

Samuti nimetatakse disjunktsiooniks ehk loogiliseks liitmiseks vastavat binaarset loogilist operatsiooni. Disjunktsioonist räägitakse ka n-aarse loogilise tehte tähenduses: disjunktsioon loetakse vääraks parajasti siis, kui kõik operandid on väärad.

Loomulikus keeles vastab disjunktsioonile sõnastus "A või B", ehk täpsemalt, "kas A või B või mõlemad". Näiteks lauset "Mari sööb või Jüri joob" võime käsitleda (mittevälistava) disjunktsioonina, kuid tavapärasem on seda tõlgendada välistavas tähenduses: "kas A või B, kuid mitte mõlemad korraga". Viimasele tähendusele vastavat loogilist operatsiooni nimetatakse välistavaks võiks ehk välistavaks disjunktsiooniks.

Disjunktsiooni ning eituse abil on võimalik esitada kõik ülejäänud loogikatehted.

NotatsioonRedigeeri

Operaatorit või väljendatakse tavaliselt infiks operaatoriga:

  • matemaatikas ja loogikas kasutatakse sümbolit , mis tuleb ladinakeelsest sõnast vel (eesti keeles: "kumbki", "või").
  • elektroonikas kasutatakse sümbolit +;
  • enamikes programmeerimiskeeltes kasutatakse sümboleid |, ||, või or (inglise or tähendab sidesõna "või") .
  • Jan Łukasiewiczi prefiksnotatsioonis ehk Poola kujus tähistab loogilist disjunktsiooni operaator A, mis tuleb poolakeelsest sõnast alternatywa (eesti keeles: "alternatiivne").[1]

Kõik järgnevad tehted on disjunktsioonid:

 
 
 

Hulgateoorias vastav operatsioon on hulgateoreetiline ühend.

DefinitsioonRedigeeri

Loogiline disjunktsioon on operatsiooni kahe loogilise väärtusega, enamasti kahe lausearvutuse lausega, mille väärtus on väär siis ja ainult siis, kui mõlemad sisendid on väärad. Üldisemalt on disjunktsioon loogiline valem, millel võib olla üks või mitu literaali, mis on eraldatud vaid tehte 'või' abil.

TõeväärtustabelRedigeeri

Tehte  tõeväärtustabel:

SISEND VÄLJUND
     
TÕENE TÕENE TÕENE
TÕENE VÄÄR TÕENE
VÄÄR TÕENE TÕENE
VÄÄR VÄÄR VÄÄR

OmadusedRedigeeri

Disjunktsioonil on järgnevad omadused:

kommutatiivsus: jah

             
             

assotsiatiivsus: jah

                     
                                 

distributiivsus: mitmete loogikatehetega jah, näiteks tehtega ning, kuid mitte kõigi tehetega

                     
                                 

idempotentsus: jah

                 
                 

monotoonsus: jah

                 
                             

tõesust säilitav: jah
Kui kõik sisendid on tõesed, on ka väljund tõene

             
             

väärsust säilitav: jah
Kui kõik sisendid on väärad, on ka väljund väär.

Rakendused informaatikasRedigeeri

Operaatorid, mis vastavad loogilisele disjunktsioonile, on olemas enamikes programmeerimiskeeltes.

LoogikatehtedRedigeeri

Disjunktsiooni kasutatakse tihti bitikaupa tehtavates operatsioonides. Näiteks:

  • 0 või 0 = 0
  • 0 või 1 = 1
  • 1 või 0 = 1
  • 1 või 1 = 1
  • 1010 või 1100 = 1110

Operaatorit or võib kasutada selleks, et muuta bitiväljas (bit field) olevate bittide väärtust väärtuseks 1. Selleks tuleb bitivälja bittidele rakendada tehet or konstantväljaga, kus on sobivatel kohtadel bittide väärtus 1. Näiteks x = x | 0b00000001 määrab viimase biti väärtuseks 1 ning jätab ülejäänud bitid muutumata.

Loogiline operatsioonRedigeeri

Paljud keeled eristavad bitikaupa disjunktsiooni ja loogilise disjunktsiooni, andes nendeks kaks eraldi operaatorit. Peale C-d välja tulnud keeled on bitikaupa tehtava operatsiooni tähistamiseks kasutatakse ühte püstkriipsu (|) ning loogilise disjunktsiooni jaoks kasutatakse kahte püstkriipsu (||).

Paralleelprogrammeerimiskeeltes (concurrent/parallel language), väärtustatakse mõlemat disjunktsiooni poolt korraga ning kui ühe väärtus tuleb tõene, siis teise väärtustamise katkestatakse. Selline operaator on paralleelne või.

Kuigi enamikus keeltes on loogilise disjunktsooni andmetüüp boolean ehk selle väärtus on kas tõene või väär, tagastab mõnes keeles, nagu Python ja JavaScript, loogilise disjunktsiooni operaator ühe operandidest: esimese operandi, kui disjunktsioon väärtustatakse tõeseks ning teise operandi vastasel juhul.

Vastavus hulgateooriasRedigeeri

Elemendi kuuluvus kahe hulga ühendisse on hulgateoorias defineeritud loogilise disjunktsiooni kaudu xAB parajasti siis, kui (xA) ∨ (xB). Selle tõttu on hulgateoreetilisel ühendil palju samu omadusi, mis loogilisel disjunktsioonil, nagu assotsiatiivus, kommutatiivsus, distributiivsus ja de Morgani seadused.

Loomulik keelRedigeeri

Nagu ka teiste matemaatilises loogikas kasutatud notatsioonidega, on loogilise konjunktsiooni tähendus tihedalt seotud loomuliku keele sõnaga või, kuid siiski erineb loogilisest või'st. Näiteks, "Palun helista mulle või saada meil" tähendab enamasti "tee ühte või teist, aga mitte mõlemat". Samas lause "Tema hinded olid nii head, et ta on kas väga tark või ta lihtsalt õpib hästi palju" ei välista võimalust, et mõlemad tingimused kehtiksid samaaegselt. Teisisõnu, tavakasutuses võib sõna "või" tähendada nii välistavat disjunktsiooni kui ka tavalist disjunktsiooni, olenevalt kontekstist.

Vaata kaRedigeeri

MärkusedRedigeeri

  • George Boole, järgides lähedalt analoogiat tavamaatemaatikaga, seadis definitsiooni "x + y" vajalikuks eelduseks, et x ja y on üksteist välistavad. William Stanley Jevons ja põhimõtteliselt kõik temale järgnenud matemaatilised loogikud, kasutasid "loogilise liitmise" definitsiooni nii, et selle eelduseks ei oleks vaja üksteise välistamist.

ViitedRedigeeri

  1. Józef Maria Bocheński (1959), A Précis of Mathematical Logic, translated by Otto Bird from the French and German editions, Dordrecht, North Holland: D. Reidel, passim.

VälislingidRedigeeri

  • Eric W. Weisstein. "Disjunction". From MathWorld—A Wolfram Web Resource