Diferentseeruv muutkond

Diferentseeruv muutkond (inglise keeles differentiable manifold, differential manifold) on matemaatikas geomeetriline objekt, mis näeb lokaalselt välja nagu vektorruum üle reaalarvude korpuse, nii et seal on rakendatavad tuletise mõiste ja sellega seotud mõisted. See on näiteks joone ja pinna üldistus.

Diferentseeruvat muutkonda saab kirjeldada kaartidega, mis moodustavad atlase. Teine võimalus on võtta seda kõrgema mõõtmega eukleidilise ruumi alamhulgana (eukleidilise ruumi alammuutkonnana) ning kirjeldada võrrandi või parameetrilise esitusena. Whitney sisestamisteoreem näitab, et need lähenemisviisid on samaväärsed.

Diferentseeruvat muutkonda saab defineerida topoloogilise muutkonnana koos diferentseeruva struktuuriga.

Diferentseeruvad muutkonnad on diferentsiaalgeomeetria ja diferentsiaaltopoloogia põhiline uurimisobjekt.

Diferentseeruvad muutkonnad on füüsikas väga olulised. Nendega opereeritakse füüsikateooriates, sealhulgas klassikalises mehaanikas (sidemetega süsteemid), üldrelatiivsusteoorias (aegruumi kirjeldus) ja Yangi-Millsi teoorias.

DefinitsioonidRedigeeri

Diferentseeruv atlasRedigeeri

  Pikemalt artiklis Diferentseeruv atlas
 
Joonis illustreerib kaartide   ja   vahetust. Suur ring sümboliseerib topoloogilist ruumi ja kaks alumist väiksemat ringi sümboliseerivad ruumi   alamhulki

Topoloogilise ruumi   kaart on järjestatud paar  , mis koosneb ruumis   lahtisest mittetühjast hulgast   ja homöomorfismist

 .

Kui   on   kaks ruumi   kaarti, kusjuures  , siis kujutust nimetatakse

 

kaardivahetuseks.

Ruumi   atlas on siis niisugune kaartide kogum   (  on indeksite hulk), et

 

Atlast nimetatakse  -diferentseeruvaks, kus  , kui kõik selle kaardivahetused on  -difeomorfismid.

Diferentseeruv struktuurRedigeeri

  Pikemalt artiklis Diferentseeruv struktuur

Kaks  -diferentseeruvat atlast on definitsiooni järgi ekvivalentsed, kui ka nende ühend on  -diferentseeruv atlas ist. Seda atlaste ekvivalentsiklassi selle ekvivalentsiseose suhtes nimetatakse  -diferentseeruvaks struktuuriks.

Kui  , siis räägitakse ka siledast struktuurist.

Diferentseeruv muutkondRedigeeri

  korda diferentseeruv muutkond on Hausdorffi ruum, milles on täidetud teine loenduvusaksioom, koos  -diferentseeruva struktuuriga.

Diferentseeruval muutkonnal on mõõde  , kui mõni kaart ja seetõttu kõik kaardid kujutavad ruumi   mõnda alamhulka.

Sile muutkondRedigeeri

  Pikemalt artiklis Sile muutkond

Sile muutkond on Hausdorffi ruum, milles on täidetud teine loenduvusaksioom, koos sileda struktuuriga.

Siledates muutkondades saab uurida funktsioonide siledust. See ei ole   korda diferentseeruvates muutkondades võimalik, sest kaardivahetus on ainult   korda diferentseeruv ning seetõttu saab iga funktsiooni muutkonnas diferentseerida ülimalt   korda. Diferentsiaalgeomeetrid vaatlevad sageli ainult siledaid muutkondi, sest nende kohta saadakse samad tulemused mis   korda diferentseeruvate muutkondade kohta, kuid pole tarvis hallata, mitu korda tohib kaardivahetust diferentseerida.

KompleksmuutkonnadRedigeeri

Ka kompleksmuutkonnad (diferentseeruva muutkonna mõiste modifikatsioon) on siledad, kuid neis peab kaardivahetus olema ka biholomorfne.

NäitedRedigeeri

 
Kahemõõtmeline sfäär
  • Eukleidilist vektorruumi   võib käsitada ka  -mõõtmelise muutkonnana. Ühest kaardist koosnev diferentseeruv atlas saadakse samasuskujutuse abil.
  • Diferentseeruva muutkonna tõenäoliselt kõige lihtsam mittetriviaalne näide on  -mõõtmeline sfäär. Kahemõõtmeline sfäär on tavaline kahemõõtmeline kerapind. Sfääri diferentseeruv atlas saadakse näiteks stereograafilise projektsiooni abil. Sfääridel on aga võimalik defineerida ka mitteühitatavaid diferentseeruvaid atlasi.

Diferentseeruvad kujutused, teed ja funktsioonidRedigeeri

  Pikemalt artiklis Diferentseeruv kujutus
  Pikemalt artiklis Diferentseeruv tee

Olgu   muutkonna   kaart ja   muutkonna   kaart, kusjuures  . Kujutust   nimetatakse kujutuse   kaardiesituseks (nende kaartide suhtes).

Olgu    -mõõtmeline ja    -mõõtmeline  -muutkond. Pidevat kujutust   nimetatakse  -kujutuseks ehk   korda pidevalt diferentseeruvaks (lühidalt diferentseeruvaks) kujutuseks, kui kõik selle kaardiesitused (need on siis kujutused ruumist   ruumi  ) on   korda pidevalt diferentseeruvad kujutused.

Diferentseeruvus ei sõltu kaartide valikust. See tuleneb sellest, et kaardivahetuskujutused on  -difeomorfismid, ja mitmemõõtmelisest liitfunktsiooni diferentseerimise reeglist.

Kujutuse   pidevus ei järeldu diferentseeruvusest, vaid seda tuleb eeldada, et kaardis saaks nii valida, et  .

Klassi   kuuluvaid kujutusi, st kui tahes palju kordi diferentseeruvaid kujutusi, nimetatakse ka siledateks kujutusteks.

Võimalikud on ka juhtumid   ja  . Sellistel juhtudel pole mitut kaarti tarvis.

Diferentseeruvat kujutust lõigust   mingisse muutkonda nimetatakse teeks (diferentseeruvaks teeks) ehk parametriseeritud jooneks. Kui sihtruum on  , siis räägitakse diferentseeruvast funktsioonist muutkonnas  .

Kujutust   nimetatakse lokaalseks  -difeomorfismiks, kui kaardid saan nii valida, et kaardiesitused on  -difeomorfismid. Kui   on ka bijektiivne, siis nimetatakse kujutust    -difeomorfismiks.

Selleks et defineerida diferentseeruvate muutkondade vahelise kujutuse tuletist, on tarvis lisastruktuuri, nimelt puutujaruumi (vt puutujaruum, diferentsiaal).

OmadusedRedigeeri

  • Sidusas diferentseeruvas muutkonnas   mõjub difeomorfismide rühm transitiivselt, st mis tahes   korral leidub niisugune difeomorfism  , et  .
  •  -muutkondade klass koos  -kujutuste klassiga moodustab kategooria.
  • Diferentseeruvad ruumid on trianguleeritavad. Topoloogiliste muutkondade kohta üldiselt see ei kehti.

AlammuutkonnadRedigeeri

  Pikemalt artiklis Alammuutkond

 -mõõtmelise diferentseeruva muutkonna    -mõõtmeline alammuutkond ( ) on alamhulk  , mis vastavatel kaartidel näeb välja nagu vektorruumi    -mõõtmeline alamruum. Täpsemalt, iga punkti   korral leidub   ümbruses niisugune kaart   et   Seejuures võetakse   kui  ; "0" paremal poolel on 0 ruumis  . Selliseid kaarte nimetatakse lõikekaartideks. Alamhulgal   on loomulikul viisil diferentseeruv struktuur, mis on ühitatav muutkonna   diferentseeruva struktuuriga. Nimelt, kui samastada   ja  , siis lõikekaardi   ahend   hulgale   alammuutkonna   kaart ja kõigi nii saadud kaartide hulk moodustab alammuutkonna   diferentseeruva atlase.

Whitney sisestamisteoreemRedigeeri

  Pikemalt artiklis Whitney sisestamisteoreem

Whitney sisestamisteoreem ütleb, et iga  -mõõtmelise diferentseeruva muutkonna   korral leidub sisestus  , mis samastab muutkonna   ruumi  ]] kinnise alammuutkonnaga. Abstraktse diferentseeruva muutkonna mõiste erineb ruumi   alammuutkonna mõistest ainult näitlikkuse poolest, mitte matemaatiliste omaduste poolest.

KlassifikatsioonRedigeeri

Topologische muutkond on Hausdorffi ruum, milles on täidetud teine loenduvusaksioom, koos atlasega. Mõnikord on võimalik saada sellest diferentseeruv atlas ning laiendada topoloogiline muutkond diferentseeruvaks muutkonnaks. Ent igas topoloogilises muutkonnas pole võimalik leida diferentseeruvat struktuuri. Mõnikord on võimalik ühel topoloogilisel muutkonnal leida mittesamaväärseid diferentseeruvaid atlasi. Seega on topoloogilisi muutkondi, millel võib leida erinevaid diferentseeruvaid struktuure. Differentialgeomeetria seisukohast on tegu eri muutkondadega, topoloogia jaoks on see üks objekt.

Diferentseeruvate muutkondade klassifitseerimisel vaadeldakse valitud diferentseeruval muutkonnal vaadeldakse ainult topoloogilist struktuuri ning uuritakse, kui palju on erinevaid diferentseeruvaid struktuure, mis teevad sellest diferentseeruva struktuuri. Diferentseeruvatel muutkondadel, mille mõõde on väiksem kui neli, on (difeomorfsuse täpsusega) ainult üks diferentseeruv struktuur. Kõigil muutkondadel, mille mõõde on suurem kui neli, on lõplik arv erinevaid diferentseeruvaid struktuure. Neljamõõtmelised muutkonnad on diferentseeruvate struktuuride seisukohast ebaharilikud. Ruumil  , mis on mittekompaktse neljamõõtmelise diferentseeruva muutkonna lihtsaim näide, on loendumatu hulk erinevaid diferentseeruvaid struktuure, seevastu ruum  , kus  , on täpselt üks diferentseeruv struktuur. Neljamõõtmelise sfääri puhul aga ei ole erinevalt teistest "väiksematest" mõõdetest teada, kui palju diferentseeruvaid struktuure sellel on. Tabelis on toodud diferentseeruvate struktuuride arv sfääridel kuni mõõtmeni 12:

Mõõde 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Diferentseeruvate struktuuride arv 1 1 1 ? 1 1 28 2 8 6 992 1