Buckinghami π teoreem

Buckinghami π teoreem on inseneriteaduses, rakendusmatemaatikas ja füüsikas oluline teoreem dimensionaalanalüüsis.

Antud teoreem on formaalsem variant Rayleigh' dimensionaalanalüüsi meetodist. Buckinghami π teoreem ütleb, et füüsikaliselt tähenduslikku n füüsikalist suurust siduvat võrrandit saab esitada läbi p = nk dimensioonitu parameetri π1, π2, ..., πp, mida saab tuletada algsetest füüsikalistest suurustest (k on esinevate füüsikaliste suuruste dimensioonide arv).

Teoreem annab juhised, kuidas võrrandeid teadmata leida dimensioonita suuruseid etteantud füüsikalistest suurustest.

Teoreemi sõnastusRedigeeri

Olgu f(qi) füüsikaliselt tähenduslik võrrand üldkujul

 

kus qi tähistavad n-i füüsikalist suurust, mida saab esitada k sõltumatu füüsikalise suurusega. Sel juhul saab antud võrrandit ümber kirjutada kujul

 

kus πi on dimensioonitud parameetrid, mis on leitud füüsikalistest suurustest qi vastavalt valemile p = nk dimensioonitust võrrandist – Pi rühmast – mis avalduvad kujul

 

kus eksponendid ai on ratsionaalarvud.

Näideː matemaatilise pendli võnkumineRedigeeri

Määramaks matemaatilise pendli väikese amplituudiga võnkumiste perioodi T eeldame, et periood sõltub pendli nööri pikkusest L, massist M ja raskuskiirendusest g. Antud mudeli saab kirja panna kujul

 

Antud võrrandis on 3 füüsikalist suurust: aeg  , mass   ja pikkus   ja 4 dimensiooni T, M, L, ning g. Seega on vaja 4 − 3 = 1 dimensioonitud suurust, mida tähistades π saab mudeli kirja panna kujul

 

kus π on

 

mingite a1, ..., a4 väärtuste korral.

Dimensiooniga suuruste dimensioonidele vastavad põhisuurused onː

 

Dimensioonide maatriks on:

 

(Maatriksi read vastavad suurustele  , and   ja veerud dimensioonilistele muutujatele T, M, L ning g. Näiteks neljandas veerus (−2, 0, 1) on kirjas suurse g dimensioonid  .)

Otsime tuumavektorit a = [a1a2a3a4], mis annaks M ja a vektorkorrutise vastuseks nullvektori [0,0,0]. Antud juhul on selliseks vektoriks:

 

Dimensioonitu konstandi saab avaldada kujul:

 

Põhisuuruste kaudu:

 

mis on dimensioonitu.

Antud näites on analüüs lihtsam, kuna kolm dimensiooniga suurustest on põhisuurused ja (g) avaldub antud põhisuuruste kaudu. Juhul kui a2 oleks nullist erinev puuduks võimalus M taandamiseks ja seetõttu a2 peab olema võrdne nulliga. Dimensionaalanalüüsist saab seega järeldada, et matemaatilise pendli võnkeperiood ei sõltu tema massist.

Mudel avaldub seega kujul:

 

Eeldades, et f nullkohad on täisarvulised võime öelda, et gT2/L = Cn, kus Cn on nis funktsiooni f nullkoht. Kui leidub ainult üks nullkoht, siis gT2/L = C. Selgitamaks, et leidub ainult üks nullkoht, C = 4π2 oleks vaja süsteemi kohta lisateadmisi.

Vaata kaRedigeeri