Buckinghami π teoreem

Buckinghami π teoreem on inseneriteaduses, rakendusmatemaatikas ja füüsikas oluline teoreem dimensionaalanalüüsis.

Antud teoreem on formaalsem variant Rayleigh' dimensionaalanalüüsi meetodist. Buckinghami π teoreem ütleb, et füüsikaliselt tähenduslikku n füüsikalist suurust siduvat võrrandit saab esitada läbi p = nk dimensioonitu parameetri π1, π2, ..., πp ning k on algsete algsetest füüsikalistest suurustega seotud füüsikaliste põhisuuruste arv (k langeb kokku ka dimensioonide arvuga kuna igale dimensioonile vastab põhisuurus)[1].

Teoreem annab juhised, kuidas võrrandeid teadmata leida dimensioonita suuruseid etteantud füüsikalistest suurustest.

Teoreemi sõnastusRedigeeri

Olgu f(qi) füüsikaliselt tähenduslik võrrand üldkujul

 

kus qi tähistavad n-i füüsikalist suurust, mida saab esitada k põhisuurusega. Sel juhul saab antud võrrandit ümber kirjutada kujul

 

kus πi on dimensioonitud parameetrid, mis on leitud füüsikalistest suurustest qi vastavalt valemile p = nk dimensioonitust võrrandist – Pi rühmast – mis avalduvad kujul

 

kus eksponendid ai on ratsionaalarvud.

Näide teoreemi rakendusestː matemaatilise pendli võnkumineRedigeeri

Määramaks matemaatilise pendli väikese amplituudiga võnkumiste perioodi T eeldame, et periood sõltub pendli nööri pikkusest L, massist M ja raskuskiirendusest g, mille dimensiooniks on pikkus jagatud aja ruuduga. Antud mudeli saab kirja panna kujul

 

Antud võrrandis on 3 füüsikalist suurust: aeg  , mass   ja pikkus   ning 4 dimensiooniga muutujat T, M, L ja g. Seega on vaja 4 − 3 = 1 dimensioonitut suurust, mida tähistades π saab mudeli kirja panna kujul

 

kus π on

 

mingite a1, ..., a4 väärtuste korral.

Dimensiooniga suuruste dimensioonidele vastavad põhisuurused onː

 

Dimensioonide maatriks on:

 

(Maatriksi read vastavad põhisuurustele  , and   ja veerud dimensiooniga muutujatele T, M, L ning g. Näiteks neljandas veerus (−2, 0, 1) on kirjas tuletatud suurse g moodustavad põhisuurused  .)

Otsime tuumavektorit a = [a1a2a3a4], mis annaks maatriksi M ja tuumavektori a vektorkorrutise vastuseks nullvektori [0,0,0] ehk  . Antud juhul on selliseks vektoriks:

 

Dimensioonitu konstandi saab avaldada kujul:

 

Põhisuurustest avaldub see:

 

mis on dimensioonitu.

Antud näites on analüüs lihtsam, kuna dimensiooniga muutujatest kolm on põhisuurused ja (g) avaldub antud põhisuuruste kaudu. Juhul kui vektori a teine element a2 oleks nullist erinev puuduks võimalus maatriksi M taandamiseks ja seetõttu a2 peab olema võrdne nulliga. Seega saab antud dimensionaalanalüüsist järeldada, et matemaatilise pendli võnkeperiood ei sõltu tema massist.

Mudel avaldub seega kujul:

 

Eeldades, et f nullkohad on täisarvulised võime öelda, et gT2/L = Cn, kus Cn on nis funktsiooni f nullkoht. Kui leidub ainult üks nullkoht, siis gT2/L = C. Selgitamaks, et leidub ainult üks nullkoht, C = 4π2 oleks vaja süsteemi kohta lisateadmisi.

Vaata kaRedigeeri

ViitedRedigeeri

  1. "Buckingham π Theorem". Sciencedirect. Vaadatud 17.08.2020.