Ava peamenüü

Biot'-Savarti seadus

(Ümber suunatud leheküljelt Biot'-Savart'i seadus)

Biot'-Savarti seadus on elektromagnetismis esinev võrrand, mis kirjeldab konstantse elektrivoolu tekitatud magnetvälja. Biot'-Savarti seadus on magnetväljaga seotud suuruse, suuna ja elektrivoolu suhtes paiknemise kaudu.

Biot'-Savarti seadus on magnetostaatika fundamentaalne osa ning kehtib ainult magnetostaatika korral ja täidab sarnast rolli nagu Coulombi seadus elektrostaatikas. Kui magnetostaatika ei kehti, siis tuleks Biot'-Savarti seadus asendada Jefimenko võrranditega.[Lisa 1] Seadus toetub Ampère'i tsirkulatsiooni seadusele ja Gaussi seadusele magnetvälja kohta.[1] Seadus sai nime Jean-Baptiste Biot' ja Félix Savarti järgi, kes avastasid selle seose 1820. aastal, kui uurisid erineva kujuga vooluringide magnetvälju. Nad tegid kindlaks, et magnetiline induktsioon on kõigil juhtudel võrdeline magnetvälja tekitava voolu tugevusega ja sõltub B määramispunkti kaugusest. Pierre-Simon Laplace analüüsis Biot' ja Savarti katseandmeid ning avastas, et mistahes voolu magnetvälja võib arvutada kui voolu elementaarlõikude tekitatud väljade vektorsummat.[2]

VõrrandRedigeeri

Elektrivool (piki suletud kõverat/juhet)Redigeeri

 
Parema käe kruvireegel: vool   valge noole suunas tekitab magnetvälja B punase noole suunas

Magnetvälja suunda on võimalik määrata vooluga juhtmes, kasutades parema käe kruvireeglit. Kui väljasirutatud parema käe pöial näitab voolu suunda, siis kõverdatud sõrmed näitavad vooluelemendi magnetvälja suunda (nagu näha paremal asuval joonisel).[3]

 
Joonisel on näidatud  ,   suund ja   väärtus.

Biot'-Savarti seadust kasutatakse 3D-ruumis magnetvälja resultantvektori B arvutamiseks asukohas r, mille tekitajaks on konstantne vool I (näiteks juhtme abil). Muutumatu elektrivool on pidev laengute vool, mis on kogu aeg konstantne. Biot'-Savarti seadus on joonintegraali füüsikaline näide, mida määratakse üle teekonna C, kus elektrivool liigub (näiteks juhtmes). SI-süsteemis on võrrand [4]:

 ,

kus   on vektor mööda joont  , mis on diferentsiaalselt väike juhtme osa ning ühtib positiivse laengute liikumise suunaga.   on siirdevektor juhtmest ( ) kuni punktini, kus arvutatakse magnetvälja ( ) ja μ0 on magnetiline konstant. Alternatiivselt:

 ,

kus   on   ühikvektoriks. Paksus kirjas sümbolid märgivad vektoreid.

Integraali arvutatakse tavaliselt mööda suletud kõverjoont, kuna statsionaarne elektrivool on võimeline liikuma mööda suletud teed, kui see on piiritletud. Kuid seadus kehtib ka lõpmata pikkade juhtmete korral (nagu on kasutatud elektrivoolu SI-ühiku definitsioonis – ampris).

Võrrandi kasutamiseks valitakse ruumis suvaline punkt ( ), mille magnetvälja soovitakse arvutada. Fikseerides selle punkti, kasutatakse joonintegraali üle elektrivoolu teekonna, et leida kogu magnetväli antud punktis. Selle seaduse rakendamine toetub kaudselt magnetväljadele kehtivale superpositsiooniprintsiibile. See tähendab, et magnetväli on vektorsumma väljadest, mida tekitavad kõik lõpmatult väikesed juhtmelõigud eraldi.

Biot'-Savarti võrrandil on olemas ka 2D-variant, mida kasutatakse olukorras, kus allikatel on üks suund muutumatu. Üldiselt vool ei pea liikuma tasandis, mis on risti muutumatu suunaga, selle tähis on  (voolutihedus). Saadav valem on:

 

Elektri voolutihedus (kogu juhtme mahus)Redigeeri

Eelnevalt kasutatud valemid sobivad, kui voolu saab vaadelda liikumisena läbi lõpmatult kitsa juhtme. Kui elektrijuht omab paksust, siis on korrektsem Biot'-Savarti seadus:

 

või

 ,

kus   on ruumala osa ja   on voolutiheduse vektor selles ruumis (SI-süsteemis on ühikuks A/m2).

Pidev ühtlane voolRedigeeri

Olukorras, kus on ühtlane pidev vool I, saab magnetvälja   esitada kujul:

 

ehk voolutugevuse saab tuua integraali ette.

Punktlaeng konstantsel kiiruselRedigeeri

Punktlaenguga osakese q puhul, mis liigub konstantsel kiirusel v, väljenduvad Maxwelli võrrandid elektrivälja ja magnetvälja korral[5]:

 
  või
 ,

kus   on ühikvektor, mis on algsest osakese positsioonist suunatud punkti, kus välja määratakse, ning θ on nurk   ja   vahel.

Kui v2c2, siis saab elektrivälja ja magnetvälja võtta ligikaudselt kui

 
 

Neid võrrandeid nimetatakse "Biot'-Savarti seaduseks punktlaengu jaoks",[6] mis tuleneb nende sarnasusest eelnevalt esitatud Biot'-Savarti võrranditega. Need võrrandid tuletas esimesena Oliver Heaviside 1888. aastal.

Magnetilise vastuvõtlikkuse rakendusedRedigeeri

Biot'-Savarti seadust on võimalik kasutada magnetilisuse arvutustes nii atomaarsel kui ka molekulaarsel tasandil, näiteks selle abil on võimalik leida magnetiline vastuvõtlikkus, juhul kui voolutihedus on leitav kvantmehaanilisest arvutusest või teooriast.

Rakendused aerodünaamikasRedigeeri

Biot'-Savarti seadus leiab kasutust ka aerodünaamikas, et leida kiirust, mida põhjustavad pöörisjooned.

Aerodünaamika rakendustes on pööriselisuse ja voolu rollid vahetatud võrreldes magnetilise rakenduse korral.

Maxwelli järgi[7] on magnetvälja tugevus H otseselt võrdsustatud pööriselisusega.

Biot'-Savart' seadus, kogu voolu seadus ja Gaussi seadus magnetvälja kohtaRedigeeri

Magnetostaatikas magnetväli B, mis on leitud Biot'-Savarti seaduse abil, rahuldab alati Gaussi seadust magnetvälja kohta ja kogu voolu seadust.[8]

Mittemagnetostaatilises olukorras Biot'-Savarti seadus enam ei kehti, aga Gaussi seadus magnetvälja kohta ja Ampère'i tsirkulatsiooniteoreem kehtivad.

Vaata kaRedigeeri

ViitedRedigeeri

  1. Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics (trükk: kolmas). New York: Wiley. Peatükk 5. ISBN 0-471-30932-X. 
  2. Saveljev, Igor (1978). Füüsika üldkursus II. Tallinn: Valgus. lk 90. 
  3. Halliday, David, Resnick, Robert, Walker, Jearl (2008). Füüsika põhikurus 2. köide (trükk: kaheksas). Tartu: Eesti Füüsika Selts. lk 766. ISBN 978-9985-9078-9-4. 
  4. Grant, I.S., Phillips, W.R. (1991). Electromagnetism (trükk: teine). Manchester: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9. 
  5. Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (trükk: kolmas). New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X. 
  6. "Arhiveeritud koopia". Originaali arhiivikoopia seisuga 19.06.2009. Vaadatud 19.01.2019. 
  7. Maxwell, J. C. "On Physical Lines of Force". Wikimedia commons. Vaadatud 19.01.2018. 
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics (trükk: kolmas). New York: Wiley. leheküljed 178-179. ISBN 0-471-30932-X. .

LisaksRedigeeri

  1. de Melo e Souza, R.; Cougo-Pinto, M. V.; Farina, C. (2009). "Multipole radiation fields from the Jefimenko equation for the magnetic field and the Panofsky-Phillips equation for the electric field". American Journal of Physics 77 (1): 67–72. doi:10.1119/1.2990666.