Ülekandefunktsioon

Ülekandefunktsioon (inglise keeles transfer function) on avaldis, mis seob lineaarse süsteemi (nt signaalitöötlusseadme) väljundsuuruse tema sisendsuurusega.[1] Ülekandefunktsiooni võib esitada sõltuvalt ajast või sagedusest.

Autuomaatjuhtimissüsteemide ja nende lülide matemaatilisel kirjeldamisel esitatakse ülekandefunktsioon harilikult väljundsignaali Laplace'i teisenduse ja sisendsignaali Laplace'i teisenduse suhtena (nullilistel algtingimustel).[2]

Kui on teada süsteemi sisendsignaal ja ülekandefunktsioon, siis on määratav ka väljundsignaal.

Lineaarsed ajas muutumatud süsteemidRedigeeri

Ülekandefunktsioone kasutatakse signaalitöötluses, automaatjuhtimissüsteemides ja kommunikatsiooniteoorias. Ülekandefunktsiooni all mõeldakse tavaliselt lineaarseid ajas muutumatuid süsteeme. Praktikas pole enamus süsteeme lineaarsete sisend- ja väljundkarakteristikuga, kuid nominaalsete tööparameetrite puhul saab neid lihtsustada lineaarseteks ajas muutumatuteks süsteemideks.

Allpool olevad kirjeldused on antud komplekskujul muutujaga  . Üldjuhul on piisav defineerida muutuja   (seega  ), mis lihtsustab kompleksarvuliste muutujatega Laplace'i teisenduse reaalarvuliste muutujatega   Fourier' teisenduseks. Rakendustes, kus sellist lihtsustamist kasutatakse, uuritakse ainult püsiseisundit, mitte põgusaid sisse- ja väljalülitamise käitumist ning stabiilsus probleeme. Selliseid rakendusi esineb signaalitöötluses ja kommunikatsiooniteoorias.

Seega pideva sisendsignaali   ja väljundi   ülekandefunktsioon   on sisendi Laplace'i teisenduse   lineaarne kujutamine väljundi Laplace'i teisenduseks  :

 

või

 .

Diskreetsete süsteemide korral kasutakase Z-teisendust sisendsignaaali   ja väljundsignaali   suhtel ning siis on ülekandefunktsioon tuttaval kujul  .

Diferentsiaalvõrrandite otsene tuletisRedigeeri

Vaatleme konstantsete koefitsientidega lineaarset diferentsiaalvõrrandit

 

kus   ja   on sobivalt sujuvad funktsioonid ajas   ja   on vastavas funktsiooniruumis määratletud operaator, mis on kujutus funktsiooni   ja funktsiooni   vahel. Sellist võrrandit saab kasutada, et väljundfunktsiooni   jõuga piirata funktsiooni  . Ülekandefunktsiooni saab kasutada operaatori   määratlemiseks, mis toimib  -i parempöördena, ehk  

Homogeense konstantse koefitsiendiga diferentsiaalvõrrandi   lahendused leiab asendusega  . See asendus annab karakteristliku võrrandi

 

Mittehomogeense juhu saab hõlpsasti lahendada, kui sisendfunktsioon   on kujul  . Sel juhul asendades   saame  , kui defineerida

 

Ülekandefunktsiooni selline definitsioon nõuab kompleks- ja reaalarvuliste väärtuste vahel hoolikat eristamist, kus traditsiooniliselt koheldakse   kui võimendusena ja   kui faasinihkena. Kasutatakse ka teisi ülekandefunktsiooni määratlusi, nagu näiteks  [3]

Võimendus, siirdeprotsessid ja stabiilsusRedigeeri

Üldist sinusoidaalset sisendit   sagedussüsteemi saab esitada kujul  . Süsteemi impulsskoste sinusoidaalne sisend, mis algab ajahetkest  , koosneb püsiseisundi ja siirdeprotsessi impulsskostete summast. Püsiseisundi impulsskoste on süsteemi väljund lõpmatu ajahulga jooksul ja siirdeprotsessi impulsskoste on vahe süsteemi impulsskoste ja püsiseisundi impulsskoste vahel (see vastab ülaltoodud diferentsiaalvõrrandi homogeensele lahendile.) Lineaarse ajas muutumatu süsteemi puhul saab seda esitada korrutisena

 

kus sPi on karakteristliku võrrandi N juured ja on seega ülekandefunktsiooni poolused. Vaatleme ühe poolusega ülekandefunktsiooni näidet   kus  . Ühikulise amplituudiga sinusoidi Laplace'i teisendus on  . Laplace'i teisenduse väljund on   ja ajaline väljund on pöördvõrdeline selle funktsiooni Laplace'i teisendusega:

 

Lugejas olev teine muutuja on siirdeprotsessi impulsskoste ja lõpmatu ajahulga jooksul hajub see lõpmatult, kui   on positiivne. Selleks, et süsteem oleks stabiilne, ei tohi sellel ülekandefunktsioonil olla ühtegi poolust, mille reaalosad oleksid positiivsed. Kui ülekandefunktsioon on rangelt stabiilne, on kõigi pooluste reaalosad negatiivsed ja siirdeprotsess läheneb lõpmatult nullile. Püsiseisundi väljund on

 

Sageduskoste (ka "võimendus")   on määratletud kui väljundamplituudi ja püsiseisundi sisendi amplituudi suhte absoluutväärtus

 

mis on lihtsalt ülekandefunktsiooni   absoluutväärtus, mida hinnatakse väärtusel  . Selle tulemuse kehtivust saab näidata suvalise ülekandefunktsiooni pooluste arvuga.

SignaalitöötlusRedigeeri

Olgu   sisend üldisesse lineaarse ajas muutumatusse süsteemi ja väljundiks   ning kahepoolne Laplace'i teisendus väärtustest   ja  . Siis saame defineerida

 

Siis on väljund sisendiga seotud ülekandefunktsiooniga   järgnevalt

 

ja ülekandefunktsioon ise on seega

 

Harmoonilise Kompleksarvulise signaali, millel on sinusoidaalne komponent, mille amplituud  , nurksagedus   ja faas on  , kus arg on argument, saab esitada kujul

 

kus   sisestamisel lineaarsesse ajas muutumatusse süsteemi, saame väljundil vastava komponendi

 

Pange tähele, et lineaarses ajas muutumatus süsteemis pole sisendsagedus   muutunud, süsteemis on muutnud ainult sinusoidi amplituud ja faasinurk. Sageduskarakteristik   kirjeldab seda muutust iga sageduse   puhul võimenduse

 

ja faasinihe

 

abil.

Grupihilistus (st ülekandefunktsiooniga sinusoidi ümbrisesse viidud sagedustest sõltuv viivituste summa) leitakse faasinihke tuletise arvutamisel nurksagedusest  :

 

Ülekandefunktsiooni saab näidata ka Fourier' teisenduse abil, mis on ainuke Kahepoolne Laplace'i teisenduse erijuht, kui  .

Levinud ülekandefunktsioonidRedigeeri

Mõned levinumad ülekandefunktsioonid ja nende eripärad on:

Vaata kaRedigeeri

ViitedRedigeeri

  1. ENE 10. köide, 1998
  2. Ülekandefunktsioon. Elektroenergeetikasõnastik. Tallinn, TTÜ Kirjastus, 2005, lk 628
  3. Birkhoff, Garrett; Rota, Gian-Carlo (1978). Ordinary differential equations. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-05224-1.Mall:Page needed