Injektiivne funktsioon

See artikkel räägib matemaatika mõistest; geoloogia mõiste kohta vaata artiklit Injektsioon (geoloogia); teiste tähenduste kohta vaata lehekülge Injektsioon (täpsustus)

---

Injektiivne funktsioon ehk injektiivne kujutus ehk injektsioon ehk üksühene kujutus on funktsioon $f:X\to Y$, mille korral sihthulga $Y$ iga elemendi $y$ puhul on olemas ülimalt üks (võib-olla mitte ühtegi) lähtehulga $X$ element $x$, millele funktsioon teda vastavusse seab ($f(x)=y$), ehk teiste sõnadega, mille korral lähtehulga kahele eri elemendile ei seata kunagi vastavusse sihthulga üht ja sedasama elementi. Injektiivne funktsioon on injektiivse seose erijuht.

Joonis illustreerib injektsiooni: hulga Y igal element on ülimalt üks originaal: elementidel A, B ja D on igaühel üks originaal, elemendil C ei ole ühtegi originaali.

Injektiivse funktsiooni sihthulgal ei saa olla väiksem võimsus kui lähtehulgal, sest muidu ei jätkuks sihthulgas kõigi lähtehulga elementide jaoks elemente.

Injektiivse funktsiooni kujutis $\{f(x)|x\in X\}$ võib olla sihthulga $Y$ pärisalamhulk. Teiste sõnadega, võib olla elemente $y\in Y$, mis ei ole kujutised $f(x)$, (nii on ka joonisel). Selle poolest erineb injektiivne funktsioon bijektiivsest funktsioonist, mille puhul peale injektiivsuse nõutakse veel, et sihthulga iga element on kujutis $f(x)$.

Funktsiooni $f:X\to Y$ injektiivsust tähistatakse mõnikord märgiga $f:X\hookrightarrow Y$, mis on koostatud märkidest $\subset$ ja $\to$. See meenutab hulga $X$ sisestamist ülemhulka $Y$ funktsiooni $f:X\to Y$ abil, mis kujutab hulga $X$ iga elemendi temaks endaks: $f(x)=x$ .

Formaalsed definitsioonid

Olgu $X$ ja $Y$ hulgad ning $f\colon \,X\to Y$ funktsioon hulgast $X$ hulka $Y$.
Järgmised definitsioonid on samaväärsed:

• Funktsiooni $f$ nimetatakse injektiivseks, kui iga $y$-i korral hulgast $Y$ eksisteerib ülimalt üks $x$ hulgast $X$, nii et $f(x)=y$. ("Ülimalt üks" tähendab 'mitte ühtegi või täpselt üks, kuid mitte rohkem.)
  Formaalselt: $\forall y\in Y\ (\exists !x\in X\colon \,f(x)=y\vee \neg (\exists x\in X\colon \,f(x)=y)).$

• Funktsiooni $f$ nimetatakse injektiivseks, kui funktsiooni väärtuste (muutuja $y$ väärtuste) võrdusest järeldub funktsiooni argumendi $x$ väärtuste võrdus.
  Formaalselt: $\forall x_{1},x_{2}\in X\colon \,(f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2})$

• Funktsiooni $f$ nimetatakse injektiivseks, kui argumendi $x$ erinevad väärtused kujutatakse alati erinevateks funktsiooni väärtusteks.
  Formaalselt: $\forall x_{1},x_{2}\in X\colon \,(x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}))$
  

Kui injektiivsuse tõestamiseks kasutatakse kolmandat tõestust, viib see sageli vastuväitelise tõestuseni. Otsene tõestus teise definitsiooni abil võib olla elegantsem ja lühem.

Näiteid ja mittenäiteid

Mitteinjektiivne funktsioon

• Iga funktsioon $\{\bullet ,\bullet \}\to \{\bullet \}$ kaheelemendilisest hulgast üheelemendilisse hulka on mitteinjektiivne.
• Mittematemaatiline näide. Funktsioon, mis seab igale Eesti isikukoodiga inimesele vastavusse tema isikukoodi, on injektiivne, kusjuures sihthulgaks võetakse kõigi isikukoodiks kõlblike arvude hulk. (Eeldame, et ühtki isikukoodi ei rakendata mitu korda.)
• Olgu $\mathbb {N}$ naturaalarvude hulk ja $\mathbb {Z}$ täisarvude hulk.

Funktsioon $f_{1}\colon \,\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\,x\mapsto 2x$ on injektiivne.

Funktsioon $f_{2}\colon \,\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ,\,x\mapsto 2x$ on injektiivne.

Funktsioon $f_{3}\colon \,\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\,x\mapsto x^{2}$ on injektiivne.

Funktsioon $f_{4}\colon \,\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ,\,x\mapsto x^{2}$ ei ole injektiivne, sest näiteks $f(1)=f(-1)$.

Omadused

Injektiivsus sõltub ainult graafikust

Funktsiooni $f\colon \,A\to B$ injektiivsus sõltub ainult graafikust $\{(x,f(x))\mid x\in A\}$ (erinevalt sürjektiivsusest, mis sõltub ka sihthulgast $B$, mille üle graafiku järgi ei saa otsustada).

Injektiivsuse tunnused

Funktsioon $f\colon \,A\to B$ on injektiivne parajasti siis, kui kõikide alamhulkade $X,Y\subseteq A$ korral $f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)\!\,$.

Funktsioon $f\colon \,A\to B$ on injektiivne parajasti siis, kui kõikide $T\subset A$ korral $f^{-1}{\big (}f(T){\big )}=T$.

Kategooriateooriaga seotud omadused

Kui funktsioonid $f\colon \,A\to B$ ja $g\colon \,B\to C$ on injektiivsed, siis ka nende funktsioonide kompositsioon $g\circ f\colon \,A\to C$ on injektiivne.

Kui $g\circ f$ on injektiivne, siis $f$ on injektiivne.

Funktsioon $f\colon \,A\to B$, mille lähtehulk $A$ on mittetühi, on injektiivne parajasti siis, kui funktsioonil $f$ on vasakpoolne pöördelement, st funktsioon $g\colon \,B\to A$ mille korral $g\circ f=\operatorname {id} _{A}$, kus $\operatorname {id} _{A}$ on samasuskujutus hulgal $A$. Hulkade kategoorias Set tähendab see tingimus, et injektsioonid on selle kategooria vasakult pööratavad morfismid ehk koretraktsioonid.