Rühma toime

(Ümber suunatud leheküljelt Rühma vasakpoolne toime)

Matemaatikas kuuluvad rühma toime juurde rühm "aktiivse" osana ja hulk "passiivse" osana. Elemendi toime hulgal on selle hulga teisendus. Seejuures toimivad elemendid hulga elementidel nii, et korrutise toime vastab kummagi toime järjestikusele rakendamisele (toimete kompositsioonile).

Toimivat rühma nimetatakse teisenduste rühmaks. Hulka koos rühma toimega hulgal nimetatakse -hulgaks.

Kui hulga juures on oluline struktuur, olgu siis algebraline, geomeetriline või topoloogiline, peetakse rühma toimet lubatavaks ainult juhul, kui ta säilitab selle struktuuri.

Rühma toime võimaldab algebras, geomeetrias ja teistes matemaatika harudes kirjeldada objektide sümmeetriaid sümmeetriarühmade abil. Siin on esiplaanil selle hulga uurimine, millel hulk toimib. Teiselt poolt võib etteantud rühma toime sobivalt valitud hulkadel anda rühmateoorias olulist informatsiooni toimiva rühma struktuuri kohta. Sel juhul on esiplaanil toimiva rühma uurimine.

Sissejuhatav näide: kuubirühm ja kuubi diagonaalid muuda

 

  olgu kuubi tipud tavalises tähistuses, st   ja   on vastastahud (esimene pilt). Kuubi pööre ümber telje, mis ühendab nende kahe tahu keskpunkte, (teine pilt) toob kaasa järgmise tippude vahetuse:

    ja samal ajal
 

Pöördega vahetatakse ka (samal ajal) neli kuubi diagonaali, nimelt

 

Veel üks sümmeetriakujutus, peegeldus tasandi   suhtes (neljas pilt), jätab kaks diagonaali   ja   paigale ning vahetab teised kaks

    ja    .

Kuubil on aga ka sümmeetriakujutusi, mis diagonaale omavahel ei vaheta, nimelt peegeldus keskpunkti suhtes (kolmas pilt). See kujutab

    ja samal ajal
    ja samal ajal
    ja samal ajal
 

Seejuures iga diagonaal kujutub iseendaks.

Öeldakse, et kuubi sümmeetriate rühm (kuubirühm ehk oktaeedrirühm) toimib tippude hulgal, servade hulgal, diagonaalide hulgal jne. Järgnevas on vaadeldud toimet diagonaalidele.

Iga diagonaalide paari korral (joonisel paar   ja  ) leidub peegeldus tasandi suhtes, mis vahetab need omavahel ära ning jätab kõik teised diagonaalid paigale, nimelt selle tasandi suhtes, mis sisaldab paigalejäävaid diagonaale. Niisugust ühe paari vahetust nimetatakse transpositsioonks, ja need transpositsioonid tekitavad kogu nelja diagonaali permutatsioonide sümmeetrilise rühma. Et neid permutatsioone on   ning sümmeetriateisendusi, mis jätavad kõik diagonaalid paigale, on kaks (identsusteisendus ja peegeldus punkti suhtes), siis on kuubi sümmeetriateisendusi

 .

Definitsioon muuda

(Vasakpoolne) toime muuda

Rühma   (vasakpoolne) toime hulgal   on binaarne tehe

 

järgmiste omadustega:

  1. kõikide   korral  , kus   on rühma   neutraalne element,
  2. kõikide   korral  .

Siis öeldakse, et rühm   toimib (vasakult) hulgal  , ja nimetatakse hulka   koos selle rühma toimega (vasakpoolseks)  -hulgaks.

Neist nõudmistest järeldub, et iga   korral on kujutus   bijektsioon (pöördteisendus   on  ). Sellepärast ei ole rühma elemendi   toime mitte ainult teisendus, vaid hulga   substitutsioon, ja rühma   toimmet hulgal   võib samastada r homomorfismiga rühmast   sümmeetrilisse rühma  .

Parempoolne toime muuda

Analoogselt vasakpoolse toimega on parempoolne toime binaarne tehe

 ,

kus

  1.   kõikide   korral, kus   on rühma   neutraalne element,
  2.   kõikide   korral.

Erinevus vasakpoolsete ja parempoolsete toimete vahel seisneb viisis, kuidas hulgal   toimivad tehted  . Vasakpoolse toime puhul toimib kõigepealt   ja siis  , parempoolse toime puhul on järjekord vastupidine.

Parempoolsest toimest saab konstrueerida vasakpoolse toime, esitades seda vasturühma vasakpoolse toimena või ka pannes rühma elemendi vasakpoolse toime asemele elemendi   parempoolse toime. Igale parempoolsele toimele   vastab vasakpoolne toime

 

sest

 

ja

 

Analoogselt saab muuta vasakpoolset toimet parempoolseks. Et vasakpoolsel ja parempoolsel toimel ei ole olemuslikku erinevust, siis järgnevalt tuleb juttu ainult vasakpoolsetest toimetest.

Veel mõisteid muuda

Orbiit muuda

Olgu   rühma   toime hulgal   Iga   korral nimetatakse siis hulka

 

elemendi   orbiidiks. Orbiidid moodustavad hulga   klassijaotuse. Orbiidi elementide arvu (või võimsust) nimetatakse ka orbiidi pikkuseks. Väljavalitud   korral nimetatakse eeskirjaga

 

antud kujutust   orbiidikujutuseks.

Orbiidid on ekvivalentsiklassid ekvivalentsusseose

 

suhtes, mis on defineeritud nii: leidub   nii, et  .

Ekvivalentsiklasside hulka   nimetatakse orbiidiruumiks.

Fundamentaalpiirkond muuda

  Pikemalt artiklis Fundamentaalpiirkond

Olgu   topoloogiline ruum ja   rühm, mis toimib hulgal  . Punkti   korral tähistagu   punkti   orbiiti. Siis nimetatakse hulka   ruumi   fundamentaalpiirkonnaks, kui ühisosa   on iga   korral on üheelemendiline hulk.[1]

Näide

Ruut on   on ruumi   fundamentaalpiirkond teisenduste rühma   suhtes. Iga punkti   saab esitada kujul  , kus   ja  .

Transitiivsed ja teravalt transitiivsed toimed muuda

Rühma   toimet   hulgal   nimetatakse (lihtsalt) transitiivseks või öeldakse "rühm   toimib (lihtsalt) transitiivselt hulgal  “, kui iga kahe elemendi   puhul leidub   nii, et  . Sel juhtumil leidub ainult üks orbiit, mis hõlmab kogu hulga  . Kui peale selle on rühma element  , mille korral   kahe suvalise elemendiga   üheselt määratud, siis nimetatakse rühma toimet teravalt (lihtsalt) transitiivseks.

Kui ka iga kahe erineva   ja iga kahe erineva   korral leidub rühma element  , mille korral   ja  , siis nimetatakse rühma toimet kahekordselt transitiivseks ja kui lisaks leidub alati parajasti üks rühma element, millel on see omadus, siis nimetatakse rühma toimet teravalt kahekordselt transitiivseks.

Viited muuda

  1. Guido Walz. Fundamentalbereich – Lexikon der Mathematik, 1. trükk, Spektrum Akademischer Verlag: Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN=3-8274-0439-8.